Università Roma Tre

Summary of real functions of a real variable. Main properties and definitions, elementary functions, derivatives and derivation rules. Second order derivatives, chain rule, monotonicity and first derivative, second order derivative and convexity NSC for the existence of local maxima and minima. Global max and min. Weierstrass theorem.
Topology and metrics of the n-dimensional real space. Sequences. Open sets. Closed sets. Compact sets.
Functions of several variables. Definition and examples. Level curves. Linear functions and quadratic forms. Continuous functions and Weierstrass theorem.
Differential calculation for several variables functions. Partial derivatives. Differential and tangent plane. Gradient and Jacobian matrix. Approximations by differentials. Darivative along a curve. Directional derivative. Chain rule. Second order derivatives and Hessian matrix.
Implicit function theorem: Case of a function in two variables. Geometric interpretation. Case of a function in several variables. Linear case: m equations, n+m variables. General case of systems of m equations and n+m variables. Inverse function theorem.
Static optimization. Free optimization. NC for the existence of local maxima and minima. Stationary points. Definite and semidefinite quadratic forms. Criterion for 2 or 3 variables. Second order SC for the existence of local free maxima and minima. Constrained optimization. Equality constraints. NC for the existence of local maxima and minima. Inequality constraints: NC for the existence of local maxima and minima. Kuhn-Tucker conditions for non-negative variables. Interpretation of the Lagrange multiplier.
Homogeneous functions. Geometric definition and properties. Euler theorem. Homothetical functions
Concave and convex functions. Definitions and geometrical properties. Properties and characterization. Concavity and sign of the Hessian matrix. Quasiconcave and quasiconvex functions. Cobb-Douglas functions. Pseudoconcave functions Free and constrained optimization in hypothesis of quasiconvexity and quasiconcavity.
Dynamical models: Malthus model in discrete and continuous time. Dynamical models in continuous and discrete time. Definition of differential equation and difference equations. Existence and uniqueness of solutions for first order difference equations.
Calculus of variations. Definition of a problem of calculation of variations. Euler equation in integral form (w.p.). Euler-Lagrange equation. Transversality conditions. Sufficient conditions in hypothesis of concavity or convexity.
Optimal control theory: Optimal control problem (in discrete and continuous time). Pontryagin maximum principle. Sufficient conditions in hypothesis of concavity.
Dynamic programming. Finite horizon and discrete time: Bellman’s principle. Dynamic programming principle. Bellman's equation and optimization conditions.
(w.p.)=”with proof”.

Riepilogo funzioni reali di una variabile reale. Proprietà e definizioni principali, funzioni elementari, derivate e regole di derivazione. Derivate successive, derivata di funzione composta, derivata e monotonia, derivata seconda e convessità, CNeS per l’esistenza di massimi e minimi locali. Max e min globali. T. di Weierstrass.
Topologia di . Successioni di R. Lo spazio metrico . Successioni di . Topologia di : insiemi aperti. Insiemi chiusi. Insiemi compatti.
Funzioni di più variabili reali. Definizione ed esempi. Curve di livello. Funzioni lineari e forme quadratiche. Funzioni continue e teorema di Weierstrass (c.d.).
Calcolo differenziale per funzioni a più variabili. Derivate parziali. Differenziale e piano tangente. Gradiente e matrice Jacobiana. Approssimazioni mediante differenziali. Derivata lungo una curva. Derivata direzionale. Derivata di funzione composta. Derivate di ordine superiore e matrice Hessiana.
Teorema della funzione implicita: Caso di una funzione in due variabili. Interpretazione geometrica. Caso di una funzione in più variabili. Caso lineare: m equazioni, n+m incognite. Caso generale dei sistemi di m equazioni ed n+m incognite. Teorema della funzione inversa.
Ottimizzazione statica. Ottimizzazione libera. CN per l’esistenza di massimi e minimi locali (c.d.). Punti stazionari. Forme quadratiche definite e semidefinite. Criterio per 2 o 3 variabili. CS del secondo ordine per l’esistenza di massimi e minimi liberi locali. Ottimizzazione vincolata. Vincoli bilaterali. CN per l’esistenza di massimi e minimi locali. Vincoli unilaterali: CN per l’esistenza di massimi e minimi locali. Condizioni di Kuhn-Tucker per variabili non negative. Interpretazione del moltiplicatore di Lagrange (c.d.).
Funzioni omogenee. Definizione e proprietà geometriche. Teorema di Eulero. Funzioni omotetiche
Funzioni concave e convesse. Definizioni e proprietà geometriche. Proprietà e caratterizzazione. Concavità e segno della matrice Hessiana. Funzioni quasi concave e quasi convesse. Funzioni di Cobb-Douglas. Funzioni pseudoconcave Ottimizzazione libera e vincolata in ipotesi di quasi convessità e quasi concavità.
Modelli dinamici: Modello di Malthus a tempo discreto e continuo. Modelli dinamici a tempo continuo e discreto. Definizione di equazione differenziale e alle differenze. Equazioni alle differenze di passo uno: esistenza e unicità delle soluzioni.
Calcolo delle variazioni. Problema di calcolo delle variazioni. Equazione di Eulero in forma integrale (c.d.). Equazione di Eulero-Lagrange. Condizioni di trasversalità. Condizioni sufficienti in ipotesi di concavità o convessità.
Introduzione alla teoria del controllo ottimo. Problema di controllo ottimo (tempo discreto e continuo). Principio di massimo di Pontryagin. Condizioni sufficienti in ipotesi di concavità.
Programmazione dinamica. Orizzonte finito e tempo discreto: Principio di ottimalità di Bellman. Principio della programmazione dinamica. Equazione di Bellman e condizioni di ottimalità.
(c.d.) = ”con dimostrazione”

Textbooks:
• Simon & Blume “Matematica per le scienze economiche” ed Egea.
• Salsa & Squellati “Dynamical systems and optimal control” ed Egea.