Università Roma Tre

Logic and set theory:
Propositions. Logical operations with propositions. Logical implication. Sets. Operations with sets. Cartesian product. Applications. Injective and surjective applications. One-to-one correspondence. Inverse application.
Numeric numbers and sets: Natural numbers. Integer or relative numbers. Rational numbers. Real numbers and representation on the line. Bounded sets. Upper and lower extreme of sets of rational and real numbers. Intervals and neighborhoods. Accumulation, internal, isolated points. Open sets and closed sets.
Summations and products: Definition of summation. Properties. Special sums. Sum of the first n natural numbers. Arithmetic and geometric progressions and sum of their first n terms. Factorial.
Real functions of a real variable:
Definition of a real function of a real variable. The Euclidean plane and the graph of a function. Injective and surjective functions and graph. Even and odd functions. Increasing and decreasing functions. Concave and convex functions. Bounded functions. Compositin function. Inverse function, monotonicity and invertibility, inverse function graph. Elementary functions. Functions with two laws. Transforming graphs. Domain of a function.
Sequences and numerical series: Definition of a sequence. Converging and divergent sequences. Monotone sequences and regularity theorem (w.p.). Limits of sequnces. Definition of numerical series. NC for convergence (w.p.). Cauchy criterion. Geometric, Mengoli, harmonic and generalized harmonic series.
Limits: Definition of limit. Convergence and divergence. Right limit and left limit. Vertical and horizontal asymptotes. Limit uniqueness theorem (w.p.). Sign permanence theorem in direct and inverse form (w.p.). Comparison theorem. Limit checks. Operations with limits. Indeterminate forms.
Infinitesimals and infinities: Definition of infinitesimal and infinite. Comparing infinitesimals and infinities. Order of infinitesimals and infinities. Propagation of the order. Computing limits with infinitesimals and infinities (w.p.).
Continuity and discontinuity: Definition of continuity. Limits and continuity. Classification of discontinuity points. Continuity of rational functions. Continuity of the inverse. Continuity of composition functions. Theorem of zeros (w.p.). Weierstrass theorem. Darboux's theorem (w.p.).
Differential calculus: Derivative of a function. Geometric interpretation. Derivability and continuity (w.p.) Points of non-derivability. Higher order derivatives. Derivatives of elementary functions. Rules of derivation. Chain rule. Derivative of the inverse function. Differential. First order approximation (w.p.). Taylor and McLaurin polynomial. Approximations of higher order. Stationary points. Local maxima and minima. First order necessary conditions for the existence of local maxima and minima. Fermat's theorem (w.p.). Rolle's theorem (w.p.). Lagrange theorem (w.p.). Lagrange theorem,s corollaries: zero-derivative functions (w.p.). Relations between monotonicity and derivative sign (w.p.). Local concave and convex functions. Relationship between the second order derivative and the concavity (w.p.). Points of inflection. Sufficient second order conditions for the existence of relative maxima and minima (w.p.). Sufficient conditions of order n for the existence of relative maxima and minima or inflections points (w.p.). De L'Hôpital theorem and application to limit calculus.
Graph of a function: Representation of the graph of a function on the Euclidean plane. Oblique asymptotes.
Integral calculus:
Primitive functions. Indefinite integral. Characterization of the set of primitives (w.p.). Properties of the indefinite integral. Integral of elementary functions. Integration by parts (w.p.). Integration by substitution (w.p.). Definite integral. Properties of the definite integral. Integral function. Integral mean theorem(c.d.). Fundamental theorem of integral calculus (w.p.). Corollary to Torricelli-Barrow's theorem: relationship between the definite integral and the indefinite integral (w.p.). Applications.
Linear algebra:
Vectors and vector spaces. Geometric representation of vectors. Linear combination of vectors. Linearly dependent and independent vectors. Rank of a set of vectors. Matrices. Operations with matrices. Product rows by columns. Particular matrices. Transposed matrix. Determinant of a matrix of order n. Properties of the determinant. Rank of a matrix. Rank and linear independence of vectors. Systems of linear equations. Cramer's theorem. Rouché-Capelli theorem. Homogeneous systems. Parametric systems.
(w.p.) = “with proof”

Notes can be downloaded online from the course website.

Nozioni preliminari.
Applicazioni. Applicazioni iniettive e suriettive. Corrispondenza biunivoca. Applicazione inversa.
Numeri e insiemi numerici. Numeri naturali. Numeri interi o relativi. Numeri razionali. √2∈Q (c.d.). Numeri reali e rappresentazione sulla retta. Insiemi limitati e non limitati. Estremo superiore ed inferiore di insiemi di numeri razionali e reali.
Intervalli e intorni. Punti di accumulazione, interni, isolati e di frontiera. Insiemi aperti e insiemi chiusi.
Definizione di sommatoria. Proprietà. Somme particolari. Somma dei primi n naturali. Progressioni aritmetiche e geometriche e somma dei loro primi n termini. Produttoria: definizione; fattoriale.
Funzioni reali di variabile reale.
Funzioni reali di variabile reale, generalità. Il piano cartesiano e il grafico di una funzione. Funzioni iniettive e suriettive e grafico. Funzioni pari e dispari. Crescenza e decrescenza e funzioni monotone in un intervallo. Concavità e convessità in un intervallo. Funzioni limitate. Funzione composta. Funzione inversa, monotonia e invertibilità, grafico della funzione inversa.
Funzioni elementari (tranne le funzioni goniometriche). Funzioni a più leggi. Operazioni sui grafici, trasformazioni di funzioni note. Ricerca del dominio di una funzione.
Successioni.
Definizione di successione. Limite di una successione. Successioni convergenti e divergenti. Successioni monotòne e teorema di regolarità (c.d.). Verifiche e calcolo di limiti di successioni
Limiti, continuità, infinitesimi e infiniti.
Definizione di limite al finito e all’infinito. Convergenza e divergenza. Limite destro e limite sinistro. Asintoti verticali, orizzontali e obliqui. Teorema di unicità del limite (c.d.). Teorema di permanenza del segno in forma diretta (c.d.) e inversa (dim. fac.). Teorema del confronto (dim. fac.). Verifiche di limiti. Operazioni con i limiti. Forme indeterminate. Limiti notevoli.
Infinitesimi e infiniti: definizioni e operazioni. Confronto fra infinitesimi e fra infiniti. Ordine di infinitesimo ed infinito. Teorema di cancellazione per infinitesimi (c.d.) e per infiniti (dim. fac.).
Definizione di continuità in un punto. Continuità in un intervallo. Limiti e continuità. Teoremi sulle funzioni continue: operazioni razionali sulle funzioni continue (c.d.); continuità della funzione composta (c.d.). Classificazione dei punti di discontinuità. Continuità dell'inversa. Massimi e minimi di una funzione. Teorema degli zeri (c.d.). Teorema di Weierstrass (senza dim.). Teorema di Darboux (dim. fac.).
Calcolo differenziale.
Rapporto incrementale. Derivata di una funzione in un punto e in un intervallo. Significato geometrico. Derivabilità implica continuità (c.d.). Punti di non derivabilità. Funzione derivata e derivate di ordine successivo. Derivate delle funzioni elementari (c.d.). Algebra delle derivate (c.d.). Regole di derivazione. Derivata di funzioni composte (c.d.). Derivata della funzione inversa (dim. fac.). Teorema di De L'Hôpital (c.d.) e applicazione al calcolo di limite.
Differenziale. Approssimazione locale del primo ordine. Teorema del resto del primo ordine (dim. fac.). Polinomio di Taylor e di Mc Laurin. Approssimazioni di ordine superiore. Teorema di Taylor (dim. fac.).
Massimi e minimi locali. Punti stazionari. Teorema di Fermat (c.d.). Teorema di Rolle (dim. fac.). Teorema di Lagrange (c.d.). Corollari al teorema di Lagrange (dim. fac.). Individuazione dei massimi e dei minimi relativi. Relazioni tra la monotonia e la derivata.
Concavità e convessità globale e in un punto, definizioni. Relazione fra la derivata seconda e la concavità (c.d.). Punti di flesso. Condizioni sufficienti del second’ordine per l’esistenza di massimi e minimi relativi (dim. fac.). Condizioni sufficienti di ordine n per l’esistenza di massimi e minimi relativi o flessi (dim. fac.).
Studio di funzione.
Calcolo integrale.
Funzioni primitive. Integrale indefinito. Prima proprietà delle primitive. Seconda proprietà delle primitive (c.d.). Proprietà dell'integrale indefinito. Integrali indefiniti immediati e loro deduzione a partire dalle regole di derivazione. Integrazione per parti. Integrazione per sostituzione.
Integrale definito (somme integrali, funzioni integrabili secondo Riemann). Proprietà dell'integrale definito. Funzione integrale. Teorema della media integrale (dim. fac.). Teorema di Torricelli-Barrow o teorema fondamentale del calcolo integrale (c.d.). Corollario al teorema di Torricelli-Barrow (dim. fac.). Integrazione definita. Integrali impropri (cenni e definizioni).
Algebra lineare.
Vettori e spazi vettoriali. Rappresentazione geometrica dei vettori. Prodotto di un vettore per uno scalare. Somma di vettori. Combinazione lineare di vettori (CL). Vettori linearmente dipendenti (LD) e indipendenti (LI). LD implica CL (c.d.). Matrici. Operazioni con le matrici. Prodotto righe per colonne. Matrici particolari. Matrice trasposta. Determinante di una matrice di ordine n. Proprietà del determinante. Matrice inversa: teorema di unicità della matrice inversa (c.d.); CNS per l’invertibilità (c.d.). Caratteristica o rango di una matrice. Rango e dipendenza lineare.
Sistemi di equazioni lineari. Teorema di Cramer (senza dim.). Teorema di Rouché-Capelli (senza dim.). Sistemi omogenei. Sistemi parametrici.

Appunti scaricabili online dalla pagina web del corso.
Alberto Bersani, Francesco Manzini, Loretta Mastroeni. Esercizi di Matematica Generale: Per i corsi del nuovo ordinamento delle Facoltà di Economia. Società Editrice Esculapio, 2009.