Università Roma Tre

Semigruppi, Monoidi e Gruppi: definizioni ed esempi. Proposizione: unicita' dell'elemento neutro e dell'inverso; proprieta' dell'inverso. Il gruppo degli elementi invertibili di un monoide. Concetti di base: commutativita' (o abelianita'); ordine; sottosemigruppi/sottomonoidi/sottogruppi; isomorfismi.
Associativita' e Commutativita' generalizzate. Potenze di elementi. Il sottosemigruppo/sottomonoide/sottogruppo generato da un sottoinsieme: unicita' ed esistenza. Il teorema di Cayley per monoidi e gruppi: ogni monoide (risp. gruppo) e' isomorfo ad un sottomonoide (risp. sottogruppo) del monoide (risp. gruppo) delle trasformazioni (risp. delle permutazioni) su se stesso.
Le classi laterali destre e sinistre rispetto un sottogruppo. Proprieta': le classi laterali destre e sinistre formano una partizione del gruppo; la cardinalita' di ogni classe laterale e' uguale alla cardinalita' del sottogruppo; esiste una biezione tra classi laterali sinistre e destre. Corollari: l'ordine di un sottogruppo divide l'ordine di un gruppo finito (teorema di Lagrange), l'ordine di un elemento divide l'ordine di un gruppo finito. Esempi: le classi laterali sinistre o destre di nℤ

(1) Hungerford: Algebra. Graduate Texts in Mathematics, 73. Springer-Verlag, New York-Berlin, 1980.
(2) J. Milne: Group Theory. Note disponibili nella pagina web di James Milne.