Università Roma Tre

Topologia di R*2
Lo spazio metrico . Topologia di : insiemi aperti. Insiemi chiusi. Insiemi compatti. Insiemi connessi.
Funzioni di più variabili reali .
Definizione ed esempi. Curve di livello. Funzioni lineari e forme quadratiche. Funzioni continue e teorema di Weierstrass.
Calcolo differenziale per funzioni a più variabili.
Derivate parziali. Differenziale e piano tangente. Gradiente e matrice Jacobiana. Approssimazioni mediante differenziali. Derivata lungo una curva. Derivata direzionale. Derivata di funzione composta. Derivate di ordine superiore e matrice Hessiana.
Teorema della funzione implicita:
Caso di una funzione in due variabili. Interpretazione geometrica. Caso di una funzione in più variabili. Interpretazione geometrica. Caso lineare: m equazioni, n+m incognite. Caso generale dei sistemi di m equazioni ed n+m incognite . Teorema della funzione inversa.
Ottimizzazione statica.
Ottimizzazione libera. CN per l’esistenza di massimi e minimi locali. Punti stazionari. Forme quadratiche definite e semidefinite. Criterio per 2 o 3 variabili. CS del secondo ordine per l’esistenza di massimi e minimi liberi locali. Ottimizzazione vincolata. Vincoli bilaterali. CN per l’esistenza di massimi e minimi locali. Vincoli unilaterali: CN per l’esistenza di massimi e minimi locali. Condizioni di Kuhn-Tucker per variabili non negative. Significato del moltiplicatore di Lagrange. Teoremi di inviluppo: caso libero e vincolato.
Funzioni omogenee.
Proprietà geometriche e Teorema di Eulero.
Funzioni concave e convesse.
Definizioni e proprietà geometriche. Proprietà e caratterizzazione. Funzioni quasi concave e quasi convesse. Funzioni di Cobb-Douglas. Ottimizzazione vincolata in ipotesi di quasi convessità e quasi convessità.
Cenni alle equazioni differenziali:
Modello di Malthus. Modelli dinamici a tempo continuo e discreto. Equazioni differenziali ordinarie del 1° ordine e problema di Cauchy. Teorema di esistenza ed unicità locale. Equazioni differenziali lineari del 1° ordine. Equazioni a variabili separabili. Equazioni differenziali del 2° ordine lineari a coefficienti costanti: struttura delle soluzioni e teorema di esitenza ed unicità globale.
Calcolo delle variazioni.
Problema di calcolo delle variazioni. Equazione di Eulero in forma integrale (c.d.). Equazione di Eulero-Lagrange (c.d). Casi particolari dell’EEL. Condizioni di trasversalità (c.d). Condizioni sufficienti in caso di concavità o convessità. Condizione di Legendre.
Introduzione alla Teoria del controllo ottimo.
Problema di controllo ottimo. Principio di massimo di Pontryagin. Condizioni sufficienti in ipotesi di concavità. Significato del moltiplicatore. Funzione obbiettivo con fattore di sconto. Hamiltoniana corrente.
Equazioni alle differenze lineari di passo uno.
Cenni.
Programmazione dinamica.
Principio di ottimalità di Bellman. Tempo continuo. Equazione di Bellman. Tempo discreto. Condizioni necessarie. Esempio di problema a tempo discreto con controllo retroattivo: impiego ottimo di una risorsa.

Simon & Blume “Matematica 2 per l’economia e le scienze sociali” ed Egea

Salsa & Squellati “Modelli dinamici e controllo ottimo” ed. Egea