Università Roma Tre

Forme bilineari: ortogonalita', isometrie, l'aggiunto di un operatore. Forme bilineari alterne: classificazione; il gruppo simplettico e le trasvezioni simplettiche. Forme bilineari simmetriche: forme quadratiche associate, teorema di diagonalizzazione; classificazione sul campo dei complessi e sul campo dei reali; il gruppo ortgonale e le simmetrie; estensioni iperboliche; i teoremi di cancellazione e di estensione di Witt; la decomposizione anisotropica. Forme sesquilineari: classificazione delle forme sesquilineari Hermitiane e anti-Hermitiane. Prodotti scalari: norma e distanza (legge del parallelogramma); disuguaglianza di Chaucy-Schwarz; l'operazione di ortogonalita' sui sottospazi; proiezioni ortogonali e loro proprieta' (disuaglianza di Bessel , proprieta' della migliore approssimazione); insiemi ortogonali e ortonormali (sviluppo di Fourier, formula per la proiezione ortogonale, disuguaglianza/uguaglianza di Parseval, procedimento di ortogonalizzazione di Gram-Schmitt). Operatori normali: operatori autoaggiunti (Hermitiani o simmetrici), anti-autoaggiunti (anti-Hermitiani o anti-simmetrici), isometrici (unitari o ortogonali), positivi e semipositivi. Teorema di struttura per operatori normali complessi (o teorema spettrale sui complessi). Teorema di struttura per operatori normali reali. Il teorema spettrale sui reali. Decomposizione polare di un operatore. Spazi proiettivi: definizione, relazione con gli spazi affini, dualita', proiettivita', ipersuperfici proiettive, il teorema di classificazione delle ipersuperfici quadriche.

E. Sernesi: Geometria 1 Bollati Boringhieri, 2000.
S. Roman: Advanced Linear Algebra. Springer, 2008.
S. H. Weintraub: A guide to Advanced Linear Algebra. Mathematical Association of America. 2011.
B. N. Cooperstein: Advanced Linear Algebra. 2nd Edition. Taylor and Francis Group. 2015.
S. Axler: Linear Algebra Done Right. 2nd Edition. Undergraduate Text in Mathematics. Springer. 1997.