Università Roma Tre

I numeri dei paragrafi e dei teoremi si riferiscono al libro di Chierchia
(se non altrimenti specificato).

1) Funzioni di $n$ variabili reali

Spazi vettoriali.
Prodotto scalare (disuguaglianza di Cauchy-Schwarz), norma, distanza, topologia standard, compattezza in $\mathbb R^n$
(paragrafi 5.1, 5.2, 5.3).

Funzioni continue da $\mathbb R^n$ in $\mathbb R^m$ (paragrafo 5.5): Prop 5.8 (solo i punti i): $f$ è continua
in $x$ se e solo se per ogni successione $x_k$ tendente a $x$ anche $f(x_k)$ tende a $f(x)$; iii) se $K$ è compatto e $f$ è continua allora $f(K)$ è
compatto; v) somme, prodotti, quozienti e composizioni di funzioni continue sono continui).
Teorema di Weierstrass Teo 5.11, una funzione continua su un compatto è uniformemente continua Teo 5.12.

Paragrafo 5.6,
definizioni di derivata parziale e direzionale, funzioni differenziabili, gradiente, Prop.5.21:
una funzione differenziabile è continua e ha tutte le derivate direzionali. Prop 5.22(''del differenziale totale''). Lemma di Schwarz, Prop. 5.24.
Funzioni $C^k$, regola della catena (Prop. 5.30). Matrice hessiana.

Formula di Taylor al secondo ordine. Punti stazionari massimi e minimi (Def. 5.43) Matrici definite positive.

Prop. 5.44: i punti di massimo o minimo sono punti critici; i punti critici in cui la matrice Hessiana e' definita positiva (negativa)
sono punti di minimo (massimo); i punti critici in cui la matrice Hessiana ha un autovalore positivo e uno negativo sono selle.


Funzioni differenziabili da $\mathbb R^n$ ad $\mathbb R^m$; Matrice jacobiana. Matrice jacobiana della composizione.

2) Spazi normati e spazi di Banach


Esempi (numeri 1,2,6,7,9 del par. 6.1). Successioni convergenti e di Cauchy (Def. 6.2). Norme equivalenti (Def. 6.4). Equivalenza delle norme in $R^n$.
Lo spazio delle funzioni continue con la norma del sup è uno spazio di Banach. Esponenziale di matrice. Equazioni differenziali ordinarie a coefficienti costanti (Oss. 6.8). Serie di Neumann (Oss. 6.9).

Il teorema del punto fisso in spazi di Banach Teo. 6.10

3) Funzioni implicite

Il teorema delle funzioni implicite Teo. 7.1 (con la Prop. 7.4 e il Teorema della Funzione Inversa).

Massimi e minimi vincolati, moltiplicatori di Lagrange (Prop. 7.9).


4) Equazioni differenziali ordinarie

Esempi: equazioni a variabili separabili, sistemi lineari a coefficienti costanti
(soluzione con l'esponenziale di matrice),
sistemi conservativi unidimensionali.

Teorema di esistenza e unicita' (Teo 8.8).

Dipendenza Lipschitziana dai dati iniziali Prop. 8.10.

L'insieme delle soluzioni di un sistema di equazioni differenziali lineari di ordine $n$ forma uno spazio vettoriale $n$-dimensionale
(vedi paragrafo 8.5).

5) Curve in $\mathbb R^n$


Cap. 15 del Giusti: curve regolari,
versore tangente, curve equivalenti.
Lunghezza di una curva, integrali curvilinei.

L. Chierchia, Lezioni di Analisi Matematica 2. Aracne, (1997).
E. Giusti, Analisi Matematica 2, terza edizione. Boringhieri, (2003).
Demidovic, Esercizi e problemi di analisi matematica. Editori Riuniti,