Università Roma Tre

Richiami su sistemi di equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti.

L'oscillatore armonico smorzato e forzato nel caso di forzante periodica generale. Il teorema di Fourier sullo sviluppo delle funzioni periodiche in esponenziali complessi.

Risonanza parametrica: operatore di evoluzione, teorema di Liouville, criterio di stabilità del punto di equilibrio. Calcolo in serie perturbativa dell'operatore di evoluzione e convergenza della serie. Costruzione della frontiera di stabilità nell'intorno delle risonanze, diagramma di stabilità.

Sistemi di oscillatori armonici accoppiati con condizioni di Dirichlet al bordo: soluzione generale del problema. Limite continuo del sistema di oscillatori accoppiati: riscalamento della massa, del numero di oscillatori e delle costanti elastiche. Limite formale della soluzione e delle equazioni del moto: equazione delle onde. Convergenza della serie ottenuta come limite macroscopico della soluzione del sistema di oscillatori, verifica del fatto che tale serie è soluzione dell'equazione delle onde. Unicità della soluzione dell'equazione delle onde: conservazione dell'energia della corda vibrante.

Elementi di teoria della diffusione classica. Sezione d'urto differenziale. Formula di Rutherford per la diffusione su un centro Coulombiano.

Integrali primi nascosti nel problema dei due corpi e dell'oscillatore armonico tridimensionale. Il teorema di Bertrand (solo enunciato).

- G. Gallavotti: Meccanica Elementare, ed. P. Boringhieri, Torino, 1986.

- G. Gallavotti, F. Bonetto, G. Gentile Aspects of the ergodic, qualitative and statistical theory of motion, Springer-Verlag 2004.

- L.D. Landau, E.M. Lifshitz: Meccanica, Editori Riuniti, Roma, 1976.

- V.I. Arnol’d: Metodi Matematici della Meccanica Classica, Editori Riuniti, Roma, 1979.

- G. Gentile: Introduzione ai Sistemi Dinamici: 1 e 2, disponibile online su:
http://www.mat.uniroma3.it/users/gentile/2014-2015/FM410/testo.html