Università Roma Tre

INSIEMI E NUMERI
0. Concetto ingenuo di insieme, simbologia insiemistica (esiste, per ogni,
appartenenza, uso delle parentesi..), insieme vuoto, sottoinsiemi, insieme
complementare, intersezione e unione di insiemi...ecc prodotto cartesiano tra due o
più insiemi, ricoprimento e partizione di un insieme.
1. funzioni tra insiemi, iniettive, suriettive, biunivoche, composte, invertibili, grafico di
una funzione
2. Relazioni tra insiemi, relazioni di ordine, ordine totale, diagramma associato a
relazione di ordine, relazione di equivalenza, partizione associata a relazione di
equivalenza
3. Elementi minimi di logica: riconoscimento di enunciati atomici, negazione di un
enunciato, implicazione logica diretta (modus ponens) e contronominale - per
assurdo (modus tollens), inversa, contraria, quantificatori universali, diagrammi di
Eulero per la verifica della correttezza di sillogismi a due premesse (con
quantificatori) e una conclusione.
4. La numerazione degli antichi romani, l'abaco e il sistema decimale posizionale, il
sistema posizionale in base qualsiasi, teorema di rappresentazione dei numeri
naturali.
5. Contare come corrispondenza biunivoca. Insiemi a cardinalità finita, cardinalità del
prodotto cartesiano di due insiemi finiti, insieme delle parti di un insieme e sua
cardinalità, insiemi infiniti, cardinalità dell'insieme dei numeri pari, dei dispari, degli interi,
Procedimento diagonale per costruire corrispondenze biunivoche tra NxN ed
l'insieme dei numeri naturali N. Gli insiemi infinito-numerabili e infiniti non
numerabili.
6. assiomi di Peano per i numeri naturali, principio di induzione e sue applicazioni (i
numeri quadrati e i numeri triangolari, suddivisione del piano in regioni mediante
rette, angoli interni di un poligono convesso, somma dei primi n numeri dispari, altri
esempi), definizione ricorsiva di somma di numeri naturali, dimostrazione ricorsiva
delle proprietà della somma (associativa, commutativa, esistenza elemento neutro)
a partire dagli assiomi. Il prodotto sui naturali è una somma ripetuta.
7. Ordinamento dei numeri naturali. Confronto additivo
e moltiplicativo di numeri naturali.
8. L'assioma del buon ordinamento come equivalente del principio di induzione.
9. il problema dell'invertibilità della somma e i numeri interi. Costruizione di Z come
classi di equivalenza di NxN. Somma e prodotto in Z e proprietà, struttura algebrica
dei numeri interi (gruppo additivo, anello commutativo unitario), ordinamento dei numeri interi.
10. La divisione euclidea: teorema di esistenza e unicità, con dimostrazione. Il teorema
di rappresentazione dei numeri è conseguenza dell'esistenza della divisione.
11. Massimo comun divisore e minimo comune multiplo. L'algoritmo di Euclide per il MCD. L’identità di Bézout per il MCD come conseguenza dell'algoritmo
di Euclide.
12.Equazioni lineari diofantee
13.Criteri di divisibilità tra numeri naturali.
14.Numeri primi. Se un numero naturale primo divide un prodotto allora divide uno dei
fattori. Teorema: i numeri primi sono infiniti (con dimostrazione di Euclide, libro IX
degli Elementi). Il crivello di Eratostene di Cirene (III a.C.) per la ricerca dei numeri
primi inferiori a un numero dato.
15.Teorema fondamentale dell'aritmetica (ovvero teorema di fattorizzazione unica)
16. Altri teoremi sui numeri primi:
i) Un divisore di un numero naturale n é compreso tra 1 e parte intera di n/2.
ii) Se n è un intero non primo (ovvero "`composto"') allora esiste un numero primo p
tale che p divide n ed è minore uguale della radice quadrata (con dimostrazione).
Iii) (teorema di Fermat sulle somme di due quadrati-enunciato) ogni numero primo
maggiore di 2 si può scrivere come somma di due quadrati se e solo se è congruo a
1 modulo
17. Enunciati di alcune congetture famose e teoremi sui numeri primi:
i). Congettura di Goldbach
ii). Congettura dei numeri primi gemelli (Euclide.)
iii). Congettura di De Polignac
iv) Teorema (1966): esistono infiniti numeri primi p tali che p + 2 é o un primo o un
semiprimo (cioé il prodotto di due primi).
Ultimi risultati della ricerca:
v) teorema (Zhang Yitang; 2010): Esistono di infinite coppie di numeri primi distanti
tra loro meno di 70 milioni.
vi) teorema (Polymath Project, 2014): Esistono di infinite coppie di numeri primi
distanti tra loro meno di 246.
18.Le classi resto modulo n (congruenze), con le operazioni di somma e prodotto
ereditate da Z.
19. il problema dell'invertibilità del prodotto e i numeri razionali. Costruizione di Q come
classi di equivalenza. Somma e prodotto in Q: si verifica che le operazioni sono
definite in modo tale che al cambiare di un elemento nella sua classe di
equivalenza il risultato non cambia. I razionali come estensione degli interi secondo
il principio di permanenza delle proprietà formali. Proprietà delle operazioni
struttura algebrica dei numeri razionali (campo).
20.Ordinamento, non totale, dei numeri razionali. I numeri razionali sono densi.
21. Cardinalità dell'insieme dei razionali
22.La rappresentazione in base 10 e in base 3, cifre dopo la virgola e periodicità.
Passaggio da rappresentazione frazionaria a rappresentazione decimale e vice
versa: motivazione all'algoritmo (la serie geometrica).
23. Irrazionalità di radice di 2, radice di p con primo, numeri algebrici e trascendenti.
24. I numeri reali: assioma di continuità, cardinalità dei numeri reali.
GEOMETRIA EUCLIDEA
25. Le origini antiche della geometria euclidea. Gli Elementi di
Euclide, libro I: nozioni comuni, postulati, concetti primitivi, definizioni.
26. Da Euclide a Hilbert: gli assiomi sottointesi: la continuità della retta e del cerchio,
l'esistenza di un punto esterno alla retta, e del piano che passa per tre punti, la
mancanza dell'ordinamento - tutti i triangoli sono isosceli. I nuovi assiomi di Hilbert
suddivisi in 5 gruppi indipendenti, la coerenza della geometria non dipende più dalla
sua aderenza al mondo fisico. L'assioma delle parallele garantisce l'unicità della
retta passante per un punto P parallela ad una retta data, che non contiene P.
L'assioma di continuità di Archimede garantisce la corrispondenza biunivoca tra i
punti della retta e i numeri reali, e dunque che esista il punto di intersezione tra due
rette nel piano non parallele, o tra una retta e un cerchio. Disegnare non é
dimostrare.
27. Analisi delle 48 proposizioni del libro I, in particolare: il trasporto di un segmento su
un altro, angoli opposti al vertice e rette (parallele) tagliate da trasversali,
28. Esistenza di un triangolo equilatero
29. Dimostrazione di Euclide del primo criterio di congruenza dei triangoli e uso del
principio di congruenza, dimostrazione del pons asinorum,
30.Terzo criterio di congruenza dei triangoli e esistenza della bisettrice
31. Esistenza del punto medio, diseguaglianza triangolare,
32. Secondo criterio di congruenza triangoli, somma degli angoli interni di un triangolo e
quinto postulato.
33. Teorema di Pitagora, con dimostrazione (secondo Euclide). Generalizzazione del
teorema di Pitagora con una costante moltiplicativa.
34. Quinto postulato e formulazioni equivalenti.
35. Quando non vale il quinto postulato: aspetti intuitivi della geometria sferica a
confronto con la geometria euclidea, la non unicità delle "rette" sulla sfera e la
somma degli angoli interni di un triangolo sulla sfera.
36. Il libro II di Euclide-Algebra geometrica: La proprietà distributiva della somma
sull'addizione, il quadrato di binomio, la proposizione 14: risoluzione geometrica
dell'equazione x2 = ab.
Soluzioni dell' equazione di secondo grado col metodo del completamento del
quadrato.
37. Il libro VI e il teorema di Talete sui fasci di rette parallele
38. Definizione di sottoinsieme convesso nel piano e nello spazio. I poligoni come
intersezione di semipiani, angoli interni di un poligono, poligoni regolari, apotema,
perimetri e aree (dimostrazione area triangolo, parallelogramma, e trapezio,
poligono regolare). Costruzione con riga e compasso di poligoni regolari (numeri
primi di Fermat).
39. Relazioni di equivalenza in geometria: isopetrimetria ed equiestensione, problemi di
massimo e minimo:i triangoli con base fissata a vertice opposto mobile su una retta
parallela alla base sono equiestesi. Triangolo con un lato fissato e vertice opposto
che simuove su una ellisse. Percorso del raggio di luce riflesso. La leggenda di
Didone e le bolle di sapone.
40. Cenni alla geometria dello spazio: solidi, solidi regolari, calcolo di volumi. Cammini
minimi su cubo.
41. Formula di Eulero per superfici poliedrali, il caso delle superfici nello spazio chiuse
e non semplici.
42. Cenni di geometria analitica: punti e rette nel piano, equazioni, appartenenza punto
retta, intersezione di due rette dal punto di vista analitico, distanza tra due punti ed
equazione della circonferenza.

Giorgio Israel, Ana Millán Gasca Pensare in matematica, ed Zanichelli.
Altro: Simonetta Di Sieno - Sandro Levi, Aritmetica di base, Mcgraw-Hill ed.,
qualsiasi fonte accreditata, a scelta dello studente