Università Roma Tre

PARTE 1: Forme bilineari e forme bilineari simmetriche. Matrice associata ad una forma bilineare in una data base e forma bilineare associata ad una matrice in una data base. Formula del cambiamento di base. Matrici congruenti.
Il rango di una forma bilineare. Forma quadratica associata ad una forma bilineare simmetrica. Il teorema di diagonalizzazione delle forme quadratiche su un campo arbitrario. Il teorema di diagonalizzazione di forme quadratiche sul campo dei numeri complessi. Il teorema di diagonalizzazione delle forme quadratiche sul campo dei numeri reali (teorema di Sylvester): la segnatura. Classificazione delle forme quadratiche reali: (semi-)definite positive o negative, indefinite. Prodotto scalare su uno spazio vettoriale reale. Esempi: il prodotto scalare standard su R^n. Disuguaglianza di Schwarz. Norma indotta da un prodotto scalare e sue proprietà'.
Basi ortogonali e ortonormali. La matrice di cambiamento base tra due basi ortonormali e' ortogonale. Come trovare basi ortogonali: il processo di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt. Esercizi su Gram-Schmidt. Criterio di Sylvester (senza dimostrazione): una matrice reale simmetrica e' definita positiva se e solo se i suoi minori principali angolo sono positivi. Somma ortogonale di sottospazi di uno spazio vettoriale euclideo. Operatori unitari. Operatori unitari e matrici ortogonali. Il gruppo degli operatori unitari e delle matrici unitarie. Il duale di uno spazio vettoriale. Esempi. La base duale. Una forma bilineare su uno spazio vettoriale definisce due operatori lineari da uno spazio vettoriale nel suo duale che coincidono se e solo se la forma e' simmetrica e sono isomorfismi se e solo se la forma bilineare e' non degenere. Richiami sugli spazi vettoriali: due spazi vettoriali sono isomorfi se e solo se hanno la stessa dimensione, fissare una base di uno spazio vettoriale corrisponde a fissare un isomorfismo dello spazio vettoriale nello spazio vettoriale numerico. Il duale di un'applicazione lineare tra spazi vettoriali e la sua matrice associata. L'operatore aggiunto (o trasposto) di un operatore in uno spazio vettoriale euclideo e la sua matrice associata. Operatori simmetrici. Il teorema spettrale per operatori simmetrici. Esercizi. Gli autospazi di un operatore simmetrico sono ortogonali. Il teorema spettrale per matrici. Il teorema spettrale per forme quadratiche. Esercizi. Gli spazi affini. Esempi: lo spazio affine canonico associato ad uno spazio vettoriale, lo spazio affine numerico. Sistemi di coordinate affini. Sottospazi affini. Il sottospazio affine generato da un insieme finito di punti. Punti affinemente indipendenti. Un sottospazio affine e' univocamente determinato dalla sua giacitura e da un suo qualsiasi punto. Un sottospazio affine e' uno spazio affine sulla sua giacitura. Equazioni parametriche e cartesiane di sottospazi affini si uno spazio affine numerico. Risoluzione di sistemi lineari non omogenei. Formula di Grassman per due sottospazi affini. Posizione relativa di due sottospazi affini: paralleli, incidenti o sghembi. Spazi proiettivi e spazi proiettivi numerici. Sistema di coordinate omogenee (o riferimento proiettivo). Sottospazi proiettivi. Equazioni cartesiane e parametriche di sottospazi proiettivi. Intersezione e Somma di sottospazi proiettivi: formula di Grassman. Gli spazi proiettivi come "completamenti" di spazi affini. Isomorfismi di spazi proiettivi. Un isomorfismo e' completamente determinato dall'immagine dei punti fondamentali e dal punto unita' rispetto ad un sistema di coordinate proiettive. Il gruppo delle proiettivita' di uno spazio proiettivo.Il gruppo delle proiettivita' dello spazio proiettivo numerico e' il gruppo lineare proiettivo, cioe' il gruppo delle matrici invertibili modulo non-zero automorfismi. Spazi affini euclidei e loro isometrie. I tre tipi di geometrie e i loro gruppi di trasformazione: la geometria proeittiva (reale o complessa) e le proiettivita', la geometria affine (reale o complessa) e le affinita', la geometria affine euclidea e le isometrie. Curve algebriche piane (nelle tre geometrie) e il problema della loro classificazione. Il problema della classificazione delle coniche. Classificazione delle coniche proiettive reali o complesse. Esercizi. Classificazione delle coniche affini reali o complesse. Esercizi. Classificazione delle coniche euclidee. Esercizi.

PARTE 2: Equazioni differenziali di ordine uno: teorema di esistenza e unicita' Cauchy (senza dimostrazione) e risoluzione di equazioni differenziali al prim'ordine con variabili separate. Equazioni differenziali lineari di ordine n: lo spazio delle soluzioni come spazio affine di dimensione n (senza dimostrazione). Equazioni differenziali lineari di ordine uno: metodo risoluzione. Equazioni differenziali lineari di ordine n a coefficienti costanti: metodo di risoluzione ed esempio. Funzioni vettoriali ad una variabile (o archi di curve). Limiti e continuita'. Derivata e archi di curve regolari. Il vettore velocita', la velocita' scalare, il versore tangente di una curva regolare. Integrali di funzioni a valori vettoriali. Lunghezza di un arco di curva. Cambiamenti di parametrizzazione e parametrizzazione in forma d'arco. Integrali di linea e sue appplicazioni geometriche e fisiche. Il versore normale e la curvatura. La scomposizione dell'accelerazione. Digressione: il prodotto vettoriale nello spazio euclideo tridimensionale. Il versore binormale di una curva spaziale. Le formule di Frenet-Serret per le derivate del sistema di riferimento intrinseco di una curva. Le formule per la curvatura e la torsione. Esempi. Topologia di R^n: punti interni, di bordo (o frontiera) ed esterni di un sottoinsieme. L'interno e la chiusura di un sottoinsieme. Sottoinsiemi aperti o chiusi e loro proprieta'. Caratterizzazione dei chiusi in termini di convergenza di successioni. Sottoinsiemi limitati e compatti. Sottoinsiemi connessi. Funzioni reali di piu' variabili: limiti e continuita'. Criteri di esistenza del limite tramite maggiorazioni radiali e criteri di non esistenza del limite tramite restrizioni a curve. Proprieta' topologiche delle funzioni continue: l'immagine inversa di un aperto o di un chiuso e' aperta o chiusa (applicazione: il teorema della permanenza del segno), l'immagine di un compatto e' compatta (applicazone: teorema di Weiestrass sui massimi e minimi), l'immagine di un conneso e' connesso (applicazione: il teorema degli zeri). Funzioni derivabili, differenziabili e di classe C^1. L'iperpiano tangente al grafico di una funzione. Derivate direzionali e formula del gradiente. Calcolo delle derivate: gradiente di somma, prodotti o quozienti di funzioni derivabili, la formula di derivazione delle funzioni composte. Derivate parziali di ordine superiore. Funzioni di classe C^k e teorema di Schwartz sullo scambio dell'ordine di derivazione. La matrice Hessiana e il differenziale secondo. La formula di Taylor al secondo ordine con il resto di Lagrange e con il resto di Peano. Punti di massimo e minimo, globali e locali, forti e deboli. I punti di massimo e minimo locali sono punti critici. Lo studio dei punti critici tramite lo studio del segno della matrice Hessiana. Funzioni vettoriali di piu' variabili reali: continuita', derivabilita', differenziabilita', classe C^k. La matrice Jacobiana. La regola di derivazione di una composizione di funzioni. Le superfici parametrizzate in R^3: superfici regolare, piano tangente, versore normale. Esempi. Gli integrali doppi su un rettangolo: le funzioni continue sono integrabili, il calcolo dell'integrale con la doppia integrazione. Funzioni vettoriali di piu' variabili reali: continuita', derivabilita', differenziabilita', classe C^k. La matrice Jacobiana. La regola di derivazione della composizione di funzioni. Le superfici parametrizzate in R^3: superfici regolare, piano tangente, versore normale. Esempi. Gli integrali doppi su un rettangolo: le funzioni continue sono integrabili, calcolo dell'integrale doppio mediante doppia integrazione. Gli integrali doppi su domini x-semplici, y-semplici o regolari. Proprieta' dell'integrale doppio: linearita' nella funzione integranda, positivita' e monotonia, additivita' dell'integrale rispetto al dominio di integrazione, proprieta' di annullamento, teorema della media. Calcolo dell'integrale doppio su insiemi x-semplici o y-semplici mediante doppia integrazione. Diffeomorfismi locali e globali. Il teorema della funzione inversa. Esempi: coordinate polari, cilindriche, sferiche. Formula del cambiamento di variabili per il caloolo negli integrali doppi. Esercizi.

(1) E. Sernesi: Geometria 1. Bollati Boringhieri.
(2) M. Bramanti, C.D. Pagani, S. Salsa: Analisi Matematica 2. Zanichelli.
(3) S. Salsa, A. Squellati: : Esercizi di Analisi Matematica 2. Zanichelli.

Symmetric bilinear forms and scalar products. Skewsymmetric bilinear forms. Degenerate and non-degenerate symmetric bilinear forms. The ordinary scalar product in R^n. The matrix of a symmetric bilinear form with respect to a basis. Examples of matrices of the same bilinear form with respect to different basis. Positive definite real symmetric matrices. Characterizations of symmetric matrices by the leading principal minors. Euclidean vector spaces and proper Euclidean vector spaces. Orthogonality between two vectors. Orthogonal systems of vectors and their linear independence. Fourier's coefficient. Gram-Schmidt's orthogonal algorithm. Scalar product matrices and change of basis. Norm of a vector. Versors. Orthonormal basis. Scalar product matrix with respect to orthonormal basis. Orthogonal matrices. Congruent matrices. Schwartz's inequality. Triangular inequality. Convex angle between two vectors. Quadratic forms. Polar symmetric bilinear form of a quadratic form. Orthogonal space to a vector. Orthogonal space to a vector subspace. Kernel of a symmetric bilinear form. The vector projection of a vector on a nonzero vector. Orthogonal operators and orthogonal matrices. Rank and signature of a symmetric bilinear form. Sylvester's law for symmetric bilinear forms. Hermitian forms and Hermitian spaces. Self-adjoint operators and unitary operators. Eigenvalues of hermitian matrices. Eigenvalues of symmetric matrices. Eigenvectors of different eigenvalues of a self-adjoint operator are orthogonal. The Spectral theorem. Symmetric operators and orthogonal operators. Diagonalizability of a quadratic form (canonical form). Diagonalizability of a symmetric bilinear form.
Affine and Euclidean plane geometry and Cartesian coordinate system in the plane: the midpoint of a segment; Cartesian and parametric equations of a straight line; intersecting and parallel lines; sheaves of straight lines; direction cosines of an oriented line; slope; angle between two lines; perpendicularity between lines; distance between two points, between a point and a line, between two parallel lines; area of a triangle; circumferences; change of coordinates. Affine geometry of the space and Cartesian coordinate systems in the Space: Cartesian and parametric equations of a plane; chenge from parametric equations to cartesian equations and viceversa; intersection and parallelism between planes; sheaves of planes; Cartesian and parametric equations of a straight line; direction vectors; parallelism between lines; coplanar and skew straight lines; intersecting lines; intersection and parallelism between a line and a plane; sheaves of straight lines; direction cosines of an oriented line; angle between two lines; perpendicularity between lines; vectors perpendicular to a plane; angle between two planes; orthogonal projection of a straight line onto a plane; angle between a line and a plane; perpendicularity between a line and a plane; distance between two points; distance between a point and a line or a plane; distance between two parallel lines or two parallel planes; distance between a line parallel to a plane; minimum distance between two skew lines; straight line perpendicular to two skew lines. Spheres and circles in the space. Vector product. Area of a parallelogram. Mixed product. Volume of the parallelepiped and of the tetrahedron. Ellipse, hyperbola and parabola as loci and their canonical equations. Foci, directrix, vertices, axes, center and eccentricity of a conic. Intersection of a straight line with a conic. General and degenerate conics. Reduction to canonical form of the equation of a conic section. Metric classification of conics. Method of invariants.
Ordinary differential equations. Order of a differential equation. Normal differential equations. Cauchy's problems. Some particular examples of first and second order differential equations and their solutions. Linear differential equation: general properties; homogeneous and non homogeneous linear differential equations; existence and uniqueness of the solution of a Cauchy problem for linear differential equations (without proof); linearly dependent and linearly independent real functions; wronskian of real functions: its definition and properties; general integral of a linear homogeneous differential equation (without proof); general integral of a linear non homogeneous differential equation (without proof); some particular examples of linear differential equations; Lagrange's method; homogeneous linear differential equations with constant coefficients and their general integral.
Regular curves (definition and properties), equivalent curves, oriented curves, the lenght of a curve, theorem of rectificability of C^1 curves (without proof), curvature of a plane curve, Frenet's formulas for plane curves. The derivative of a scalar product and of a vector product in R^n. Biregular curves; curves in R^3: curvature, torsion, Frenet's frame, Frenet formulas for curves in the space; existence and uniqueness of a curve in R^3, curvature and torsion given (without proof).

1) Manlio Bordoni, Introduzione all'algebra lineare ed alla geometria analitica, Esculapio, 2013.
2) Francisco James Leon Trujillo-P. Mercuri, Elementi di algebra lineare, Efesto, 2016.
3) Francisco James Leon Trujillo-P. Mercuri, Geometria affine ed euclidea, Efesto, 2016.
4) M. Fusco-P. Marcellini-C. Sbordone, Analisi Matematica due, Liguori, 2001.
5) Lecture notes of the teacher