Università Roma Tre

PARTE 1: Forme bilineari e forme bilineari simmetriche. Matrice associata ad una forma bilineare in una data base e forma bilineare associata ad una matrice in una data base. Formula del cambiamento di base. Matrici congruenti.
Il rango di una forma bilineare. Forma quadratica associata ad una forma bilineare simmetrica. Il teorema di diagonalizzazione delle forme quadratiche su un campo arbitrario. Il teorema di diagonalizzazione di forme quadratiche sul campo dei numeri complessi. Il teorema di diagonalizzazione delle forme quadratiche sul campo dei numeri reali (teorema di Sylvester): la segnatura. Classificazione delle forme quadratiche reali: (semi-)definite positive o negative, indefinite. Prodotto scalare su uno spazio vettoriale reale. Esempi: il prodotto scalare standard su R^n. Disuguaglianza di Schwarz. Norma indotta da un prodotto scalare e sue proprietà'.
Basi ortogonali e ortonormali. La matrice di cambiamento base tra due basi ortonormali e' ortogonale. Come trovare basi ortogonali: il processo di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt. Esercizi su Gram-Schmidt. Criterio di Sylvester (senza dimostrazione): una matrice reale simmetrica e' definita positiva se e solo se i suoi minori principali angolo sono positivi. Somma ortogonale di sottospazi di uno spazio vettoriale euclideo. Operatori unitari. Operatori unitari e matrici ortogonali. Il gruppo degli operatori unitari e delle matrici unitarie. Il duale di uno spazio vettoriale. Esempi. La base duale. Una forma bilineare su uno spazio vettoriale definisce due operatori lineari da uno spazio vettoriale nel suo duale che coincidono se e solo se la forma e' simmetrica e sono isomorfismi se e solo se la forma bilineare e' non degenere. Richiami sugli spazi vettoriali: due spazi vettoriali sono isomorfi se e solo se hanno la stessa dimensione, fissare una base di uno spazio vettoriale corrisponde a fissare un isomorfismo dello spazio vettoriale nello spazio vettoriale numerico. Il duale di un'applicazione lineare tra spazi vettoriali e la sua matrice associata. L'operatore aggiunto (o trasposto) di un operatore in uno spazio vettoriale euclideo e la sua matrice associata. Operatori simmetrici. Il teorema spettrale per operatori simmetrici. Esercizi. Gli autospazi di un operatore simmetrico sono ortogonali. Il teorema spettrale per matrici. Il teorema spettrale per forme quadratiche. Esercizi. Gli spazi affini. Esempi: lo spazio affine canonico associato ad uno spazio vettoriale, lo spazio affine numerico. Sistemi di coordinate affini. Sottospazi affini. Il sottospazio affine generato da un insieme finito di punti. Punti affinemente indipendenti. Un sottospazio affine e' univocamente determinato dalla sua giacitura e da un suo qualsiasi punto. Un sottospazio affine e' uno spazio affine sulla sua giacitura. Equazioni parametriche e cartesiane di sottospazi affini si uno spazio affine numerico. Risoluzione di sistemi lineari non omogenei. Formula di Grassman per due sottospazi affini. Posizione relativa di due sottospazi affini: paralleli, incidenti o sghembi. Spazi proiettivi e spazi proiettivi numerici. Sistema di coordinate omogenee (o riferimento proiettivo). Sottospazi proiettivi. Equazioni cartesiane e parametriche di sottospazi proiettivi. Intersezione e Somma di sottospazi proiettivi: formula di Grassman. Gli spazi proiettivi come "completamenti" di spazi affini. Isomorfismi di spazi proiettivi. Un isomorfismo e' completamente determinato dall'immagine dei punti fondamentali e dal punto unita' rispetto ad un sistema di coordinate proiettive. Il gruppo delle proiettivita' di uno spazio proiettivo.Il gruppo delle proiettivita' dello spazio proiettivo numerico e' il gruppo lineare proiettivo, cioe' il gruppo delle matrici invertibili modulo non-zero automorfismi. Spazi affini euclidei e loro isometrie. I tre tipi di geometrie e i loro gruppi di trasformazione: la geometria proeittiva (reale o complessa) e le proiettivita', la geometria affine (reale o complessa) e le affinita', la geometria affine euclidea e le isometrie. Curve algebriche piane (nelle tre geometrie) e il problema della loro classificazione. Il problema della classificazione delle coniche. Classificazione delle coniche proiettive reali o complesse. Esercizi. Classificazione delle coniche affini reali o complesse. Esercizi. Classificazione delle coniche euclidee. Esercizi.

PARTE 2: Equazioni differenziali di ordine uno: teorema di esistenza e unicita' Cauchy (senza dimostrazione) e risoluzione di equazioni differenziali al prim'ordine con variabili separate. Equazioni differenziali lineari di ordine n: lo spazio delle soluzioni come spazio affine di dimensione n (senza dimostrazione). Equazioni differenziali lineari di ordine uno: metodo risoluzione. Equazioni differenziali lineari di ordine n a coefficienti costanti: metodo di risoluzione ed esempio. Funzioni vettoriali ad una variabile (o archi di curve). Limiti e continuita'. Derivata e archi di curve regolari. Il vettore velocita', la velocita' scalare, il versore tangente di una curva regolare. Integrali di funzioni a valori vettoriali. Lunghezza di un arco di curva. Cambiamenti di parametrizzazione e parametrizzazione in forma d'arco. Integrali di linea e sue appplicazioni geometriche e fisiche. Il versore normale e la curvatura. La scomposizione dell'accelerazione. Digressione: il prodotto vettoriale nello spazio euclideo tridimensionale. Il versore binormale di una curva spaziale. Le formule di Frenet-Serret per le derivate del sistema di riferimento intrinseco di una curva. Le formule per la curvatura e la torsione. Esempi. Topologia di R^n: punti interni, di bordo (o frontiera) ed esterni di un sottoinsieme. L'interno e la chiusura di un sottoinsieme. Sottoinsiemi aperti o chiusi e loro proprieta'. Caratterizzazione dei chiusi in termini di convergenza di successioni. Sottoinsiemi limitati e compatti. Sottoinsiemi connessi. Funzioni reali di piu' variabili: limiti e continuita'. Criteri di esistenza del limite tramite maggiorazioni radiali e criteri di non esistenza del limite tramite restrizioni a curve. Proprieta' topologiche delle funzioni continue: l'immagine inversa di un aperto o di un chiuso e' aperta o chiusa (applicazione: il teorema della permanenza del segno), l'immagine di un compatto e' compatta (applicazone: teorema di Weiestrass sui massimi e minimi), l'immagine di un conneso e' connesso (applicazione: il teorema degli zeri). Funzioni derivabili, differenziabili e di classe C^1. L'iperpiano tangente al grafico di una funzione. Derivate direzionali e formula del gradiente. Calcolo delle derivate: gradiente di somma, prodotti o quozienti di funzioni derivabili, la formula di derivazione delle funzioni composte. Derivate parziali di ordine superiore. Funzioni di classe C^k e teorema di Schwartz sullo scambio dell'ordine di derivazione. La matrice Hessiana e il differenziale secondo. La formula di Taylor al secondo ordine con il resto di Lagrange e con il resto di Peano. Punti di massimo e minimo, globali e locali, forti e deboli. I punti di massimo e minimo locali sono punti critici. Lo studio dei punti critici tramite lo studio del segno della matrice Hessiana. Funzioni vettoriali di piu' variabili reali: continuita', derivabilita', differenziabilita', classe C^k. La matrice Jacobiana. La regola di derivazione di una composizione di funzioni. Le superfici parametrizzate in R^3: superfici regolare, piano tangente, versore normale. Esempi. Gli integrali doppi su un rettangolo: le funzioni continue sono integrabili, il calcolo dell'integrale con la doppia integrazione. Funzioni vettoriali di piu' variabili reali: continuita', derivabilita', differenziabilita', classe C^k. La matrice Jacobiana. La regola di derivazione della composizione di funzioni. Le superfici parametrizzate in R^3: superfici regolare, piano tangente, versore normale. Esempi. Gli integrali doppi su un rettangolo: le funzioni continue sono integrabili, calcolo dell'integrale doppio mediante doppia integrazione. Gli integrali doppi su domini x-semplici, y-semplici o regolari. Proprieta' dell'integrale doppio: linearita' nella funzione integranda, positivita' e monotonia, additivita' dell'integrale rispetto al dominio di integrazione, proprieta' di annullamento, teorema della media. Calcolo dell'integrale doppio su insiemi x-semplici o y-semplici mediante doppia integrazione. Diffeomorfismi locali e globali. Il teorema della funzione inversa. Esempi: coordinate polari, cilindriche, sferiche. Formula del cambiamento di variabili per il caloolo negli integrali doppi. Esercizi.

(1) E. Sernesi: Geometria 1. Bollati Boringhieri.
(2) M. Bramanti, C.D. Pagani, S. Salsa: Analisi Matematica 2. Zanichelli.
(3) S. Salsa, A. Squellati: : Esercizi di Analisi Matematica 2. Zanichelli.

Forme bilineari simmetriche e prodotti scalari. Forme bilineari anti-simmetriche. Forme bilineari simmetriche degeneri e non degeneri. Il prodotto scalare standard su R^n. La matrice di una forma bilineare simmetrica rispetto a una base. Esempi di matrici della stessa forma bilineare rispetto a basi diverse. Matrici reali simmetriche definite positive. Criterio dei minori principali affinché una matrice simmetrica sia definita positiva. Spazi vettoriali euclidei e spazi vettoriali euclidei propri. Ortogonalità fra vettori. Sistemi ortogonali di vettori e loro indipendenza lineare. Coefficiente di Fourier. Procedimento di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt. Formula di passaggio da una base a un'altra per la matrice di un prodotto scalare. Lunghezza o modulo o norma di un vettore. Versori. Basi ortonormali. Matrice del prodotto scalare rispetto a una base ortonormale. Matrici ortogonali. Matrici congruenti. La disuguaglianza di Schwartz. Disuguaglianza triangolare. Angolo convesso tra due vettori. La nozione di forma quadratica. La forma bilineare simmetrica polare di una forma quadratica. Spazio ortogonale a un vettore o a un sottospazio. Nucleo di una forma bilineare simmetrica. Proiezione di un vettore nella direzione di un vettore non nullo. Operatori ortogonali e matrici ortogonali. Rango, segnatura di una forma bilineare simmetrica. Legge di Sylvester per forme bilineari simmetriche. Forme e spazi hermitiani. Operatori autoaggiunti o hermitiani e operatori unitari. Autovalori delle matrici hermitiane e delle matrici simmetriche. Autovettori di un operatore autoaggiunto relativi a autovalori distinti sono ortogonali. Il teorema spettrale. Operatori simmetrici e operatori ortogonali. Diagonalizzabilità di una forma quadratica (forma canonica) e di una forma bilineare simmetrica. Geometria piana affine ed euclidea e riferimenti cartesiani in un piano: punto medio di un segmento; equazioni parametriche e cartesiana di una retta; passaggio da equazioni parametriche a cartesiane di rette e viceversa; intersezione e parallelismo di rette; coefficiente direttore di una retta; fasci di rette nel piano, propri e impropri; coseni direttori di una retta orientata; coefficiente angolare di una retta nel piano; angolo tra due rette; perpendicolarità tra rette; distanza tra due punti, tra un punto e una retta, tra due rette parallele; area del triangolo; cambiamenti di coordinate. Geometria affine ed euclidea dello spazio e riferimenti cartesiani nello spazio: equazioni parametriche e cartesiana di un piano; passaggio da equazioni parametriche a cartesiane di piani e viceversa; intersezione e parallelismo tra piani; fasci di piani, propri e impropri; equazioni parametriche e cartesiane di una retta nello spazio; passaggio da equazioni parametriche a cartesiane di rette e viceversa; vettori direttori e parametri direttori; parallelismo tra rette; rette complanari e rette sghembe; rette incidenti; intersezione e parallelismo tra retta e piano; coseni direttori di una retta orientata; angolo tra due rette; perpendicolarità tra rette; vettori perpendicolari a un piano; angolo tra due piani; proiezione ortogonale di una retta su un piano; angolo tra una retta e un piano; perpendicolarità retta-piano; distanza tra due punti, di un punto da una retta o da un piano; distanza tra due rette o due piani paralleli e tra una retta e un piano paralleli; retta perpendicolare e incidente due rette sghembe. Prodotto vettoriale. Area del parallelogramma. Prodotto misto. Volume del parallelepipedo e del tetraedro. Ellisse, iperbole, parabola come luoghi geometrici e loro equazioni canoniche. Fuochi, direttrici, vertici, assi, centro di simmetria ed eccentricità di coniche. Intersezione di una retta con una conica. Coniche generali e degeneri (semplicemente e doppiamente). Riduzione a forma canonica dell’equazione di una conica. Classificazione metrica delle coniche. Metodo degli invarianti.
Generalità sulle equazioni differenziali ordinarie. Ordine di un'equazione differenziale. Equazioni differenziali di tipo normale. Generalità sui problemi di Cauchy. Alcune particolari equazioni differenziali del primo e del secondo ordine e determinazione di tutte le loro soluzioni. Equazioni differenziali lineari: proprietà generali; equazioni differenziali lineari omogenee e non omogenee; teorema di esistenza e unicità per il problema di Cauchy associato a un'equazione differenziale lineare (senza dimostrazione); dipendenza e indipendenza lineare di funzioni reali; wronskiano di funzioni reali: definizione e proprietà; teorema sull'integrale generale di un'equazione differenziale lineare omogenea (senza dimostrazione); teorema sull'integrale generale di un'equazione differenziale lineare non omogenea (senza dimostrazione); studio e risoluzione di alcuni casi particolari di equazioni lineari; metodo di Lagrange della variazione delle costanti; equazioni lineari omogenee a coefficienti costanti e loro integrale generale.
Curve regolari (definizione e proprietà), curve equivalenti, curve orientate, lunghezza di una curva, teorema di rettificabilità delle curve di classe C^1 (senza dimostrazione), curvatura di una curva piana e formule di Frenet per curve piane. Derivata del prodotto scalare e del prodotto vettoriale in R^n. Curve biregolari; curve in R^3: curvatura, torsione, triedro di Frenet, formule di Frenet per curve nello spazio; esistenza e unicità di una curva in R^3, fissate la curvatura e la torsione (senza dimostrazione).

1) Manlio Bordoni, Introduzione all'algebra lineare ed alla geometria analitica, Esculapio, 2013.
2) Francisco James Leon Trujillo-P. Mercuri, Elementi di algebra lineare, Efesto, 2016.
3) Francisco James Leon Trujillo-P. Mercuri, Geometria affine ed euclidea, Efesto, 2016.
4) M. Fusco-P. Marcellini-C. Sbordone, Analisi Matematica due, Liguori, 2001.
5) Dispense del docente.