Università Roma Tre

1- Sistemi lineari: matrice dei coefficienti; somma di matrici e prodotto per scalari; matrici ridotte: algoritmo di Gauss-Jordan.
2- Prodotto righe per colonne di matrici; matrici invertibili; rango di una matrice: il Teorema di Rouche'-Capelli.
3- Vettori geometrici. Spazi vettoriali. Sottospazi. Vettori generatori e vettori linearmente indipendenti.
4- Base di uno spazio vettoriale; dimensione; la formula di Grassmann.
5- Applicazioni lineari: nucleo e immagine di un'applicazione lineare. Il Teorema di nullita' piu' rango.
6- Matrice associata a un'applicazione lineare. Diagonalizzazione di operatori lineari

F. Flamini; A. Verra: "Matrici e vettori -Corso di base di geometria e algebra lineare" Carocci ed.

Sistemi e sistemi lineari di equazioni. Matrici a elementi reali. Proprietà e operazioni delle matrici. Determinante di una matrice quadrata e sue proprietà. Matrici quadrate invertibili e loro matrice inversa. Teorema di Laplace (solo enunciato e applicazione). Regola di Sarrus (solo enunciato e applicazione). Teorema di Binet (solo enunciato e applicazione). Matrici singolari e non. Dipendenza e indipendenza lineare delle colonne (righe) di una matrice. Rango di una matrice. Teorema di Cramer. Teorema di Kronecker o degli orlati (solo enunciato e applicazione). Teorema di Rouchè-Capelli. Risoluzione dei sistemi lineari.
Spazi vettoriali reali. Esempi fondamentali. Sottospazi di uno spazio vettoriale. Combinazioni lineari di vettori. Generatori di uno spazio vettoriale. Dipendenza e indipendenza lineare di vettori. Basi e dimensione di uno spazio vettoriale. Coordinate di un vettore in una base. Teorema di completamento a una base. Riduzione a R^n. Cambiamenti di base e trasformazioni di coordinate. Orientazioni di R^n. Sottospazi di R^n: basi, dimensione, equazioni parametriche, codimensione, equazioni cartesiane. Intersezione e somma di sottospazi. Formula di Grassmann (solo enunciato e applicazione). Somme di sottospazi (cenni). Prodotto scalare standard in R^n e sue proprietà. Norma di un vettore. Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz (solo enunciato e applicazione). Misure angolari. Area del parallelogramma. Proiezione di un vettore su un altro. Basi ortogonali e basi ortonormali di uno spazio. Procedimento di Gram-Schmidt (solo enunciato e applicazione). Complemento ortogonale di un sottospazio. Proiezione ortogonale di un vettore su un sottospazio. Cambiamenti di basi ortonormali. Matrici ortogonali. Definizione ed esempi di applicazione lineare. Matrice di un'applicazione lineare rispetto a due basi fissate. Nucleo e immagine. Teorema di nullità più rango (solo enunciato e applicazione). Applicazioni lineari iniettive, suriettive, biettive. Isomorfismi e matrici invertibili. Endomorfismi o operatori di R^n. Operatori e cambiamenti di base: matrici simili. Matrici e operatori diagonalizzabili. Autovettori e autovalori di un operatore. Autospazi. Spettro di un operatore. Polinomio caratteristico ed equazione caratteristica. Calcolo degli autovalori e degli autovettori. Molteplicità algebrica e molteplicità geometrica di un autovalore. Teorema fondamentale sulla diagonalizzabilità (solo enunciato e applicazione). Trasposto di un operatore. Operatori simmetrici e antisimmetrici. Il teorema spettrale (solo enunciato e applicazione). Operatori ortogonali. Isometrie e matrici ortogonali.

− M. Bordoni, Algebra Lineare, Progetto Leonardo, Bologna
− P. Maroscia, Introduzione alla Geometria e all’Algebra Lineare, Zanichelli