Università Roma Tre

Prodotti scalari e forme bilineari simmetriche. Il prodotto scalare standard su R^n. Esempi. La matrice associata a una forma bilineare simmetrica. Matrici definite positive e il criterio dei minori principali. Esempi.
Spazi vettorilai euclidei. Lunghezza e versore di un vettore. Ortogonalità fra vettori e spazio ortogonale a un vettore. Basi ortonormali. Procedimento di Gram-Schmidt.
Formula di passaggio da una base ad un'altra per la matrice di un prodotto scalare. Diseguaglianza di Schwarz. Diseguaglianza triangolare.
Angolo convesso tra due vettori. Spazio ortogonale a un vettore o a un sottospazio. Proiezione di un vettore nella direzione di un vettore non nullo. La nozione di forma quadratica. La forma bilineare simmetrica polare di una forma quadratica. Operatori ortogonali e matrici ortogonali.
Operatori autoggiunti e proprietà. Forma quadratica associata a un operatore autoaggiunto. Autovalori di una matrice simmetrica. Teorema spettrale degli operatori autoaggiunti.
Teorema spettrale degli operatori autoaggiunto: procedimento per diagonalizzare una matrice simmetrica. Esercizi. Forme canoniche delle forme quadratiche.
Teorema di Sylvester. Geometria affine: sistemi di coordinate nel piano. Rette nel piano cartesiano: equazione cartesiana e equazione parametrica.
Geometria affine nel piano: Intersezioni di rette, parallelismo e ortogonalità, distanza punto retta, angolo convesso tra due rette, fasci di rette propri e impropri.
Geometria nello spazio cartesiano. Prodotto vettoriale e prodotto misto. Equazioni parametriche e cartesiane di piani e rette.
Passaggio da equazioni parametriche a cartesiane di piani e rette nello spazio cartesiano. Piano per 3 punti non allineati. Intersezioni piano/piano, piano/retta e retta/retta nello spazio. Fasci di piani propri.
Fasci di piani impropi, Affinità e isometria in uno spazio affine. Esempi. Coniche nel piano cartesiano. Esempi. Classificazione affine a metrica delle coniche. Teorema fondamentale della classificazione affine delle coniche nel piano.
Proprietà affine e metriche delle coniche. Coniche generale e degenere, coniche a centro e parabole. Ellissi, parabole e iperbole: esempi. Classificazione affine e metrica delle coniche.
Riduzione alla foma canonica metrica e affine delle coniche. Esempi.
Simmetrie nel piano rispetto a un punto e a una retta. Centro di simmetria di una conica a centro. Spazi proiettivi: definizione e esempi.
Piano proiettivo reale. Rette e coniche nel piano proiettivo. Polarità rispetto a una conica del piano proiettivo.
Generalità su equazioni differenziali. Equazioni differenziali del primo ordine. Equazioni differenziali a variabili separabili.
Equazioni differenziali lineari del primo ordine. Equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti di ordine n.
Equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti del secondo ordine. Metodo di variazione delle costanti. Funzioni vettoriali: generalità e esempi. Arco di curva continua.
Derivata di una funzione regolare e archi di curve regolari. Curve in coordinate polari e riparametrizzazioni. Lunghezza di un arco di curva regolare.
Ascissa curvilinea o parametro arco. Integrale di linea e applicazioni al calcolo di aree di superficie, massa, baricentro e momento di inerzia relativamente a un'asse di una linea materiale. Elementi di geometria differenziale: tangente, normale principale, curvatura, e cerchio osculatore. Binormale a una curva e le formule di Frenet-Serret.
Piano osculatore a una curva, decomposizione della accelerazione e dimostrazione delle formule di Frenet-Serret. Curve piane e la loro torsione. Funzioni in più variabili: esempi di rappresentazione grafiche, limiti e continuità. Esempi.
Elementi di topologia di R^n: punti interni, esterni, di frontiera, insiemi aperti, chiusi e connessi. Insieme aperti e chiusi definiti da funzioni continue, Teorema di Wierstarss e Teorema degli zeri. Derivate parziali, derivabilità e gradiente. Esempi.
Piano tangente e differenziabilità. Derivate direzionali. Derivate di ordine superiore e Teorema di Schwarz. Ottimizzazione libera: punti critici e il criterio della matrice hessiana. Integrali dopi: integrazioni su domini rettangolari, insiemi x-semplici e y-semplici. Condizioni di integrabilità su domini regolari. Esempi. Cambiamento di variabili nell'integrale e integrazione in coordinate polari. Calcolo del volume della sfera.
Campi vettoriali e integrali di linea di seconda specie. Gradiente, rotore e divergenza. Lavoro di un campo vettoriale lungo una curva e circuitazioni. Campi conservativi e potenziali.
Campi conservativi e potenziali: esempi. Campi conservativi e irrotazionali. Insiemi semplicemente connessi, convessi e stellati.
Esempi e esercizi su argomenti vari.

F. Flamini, A. Verra: Matrici e vettori. Corso di base di geometria e algebra lineare. Carocci.
M. Bramanti, C.D. Pagani, S. Salsa: Analisi Matematica 2. Zanichelli.