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Docente
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PALUMBO BIAGIO
(programma)
NUMERI REALI ED ALTRI ARGOMENTI INTRODUTTIVI
Definizione assiomatica di
R
.
Assiomi di campo e conseguenze. Operazioni elementari e loro proprietà. Assiomi dell'ordine
e conseguenze. Simboli di disuguaglianza. Intervalli. Infinità dei numeri reali. Rappresentazione dei numeri reali su una
retta. Maggiorante e minorante, massimo e
minimo, estremo superiore ed inferiore di un insieme di numeri reali. Proprietà
caratteristiche dell'estremo inferiore e dell'estremo superiore. Assioma di completezza (enunciato come assioma
dell'esistenza dell'estremo superiore). Esistenza dell'estremo
inferiore. Estremi di insiemi separati (teor. 1.18). Estremo
superiore dell'insieme delle somme (teor. 1.19 senza dim.).
M
odulo
. D
isuguaglianza triangolare
per la somma e per
la
differenza (teor. 1.21 senza dim.). Insiemi induttivi. Intersezione di una fam
iglia di insiemi induttivi. Illimitatezza degli
insiemi induttivi. Definizione dell'insieme
N
. Definizione degli insiemi
Z
e
Q
.
Proprietà archimedea dei numeri reali.
Principio di induzione. Chiusura di
N
rispetto all'addizione e alla moltiplicazione. Poss
ibilità della sottrazione in
N
(teor.
1.27 senza dim.). Proprietà di
Z
(teoremi 1.28, 1.29 e 1.30 senza dim.). Definizione di insieme finito (teor. 1.31 senza dim.).
Principio del buon ordinamento (teor. 1.32 senza dim.). Definizioni per induzione (potenza
ad esponente naturale e sue
principali proprietà, fattoriale e doppio fattoriale, sommatoria e produttoria
)
. Potenza ad esponente intero negativo e ad
esponente razionale. Calcolo combinatorio: disposizioni semplici, permutazioni semplici, combinazioni se
mplici.
Coefficienti binomiali e loro proprietà. Formula del binomio di Newton (escludere il coefficiente binomiale con
non
intero). Parte intera e parte decimale. Divisione col resto in
N
e in
Z
.
Densità dei razionali nei reali. Esistenza di numeri
irrazionali (senza dim.). Irrazionalità di
.
2
Densità degli irrazionali nei reali. Cenni su numeri algebrici e trascendenti.
FUNZIONI ELEMENTARI
Concetto intuitivo di funzione e def
inizione rigorosa. Dominio e codominio.
Immagine. Grafico di una funzione. Funzioni
iniettive, suriettive, biettive. Funzioni limitate e illimitate. Funzioni pari e dispari. Decomposizione di una funzione come
somma di una funzione pari e una dispari. Somm
e, differenze. prodotti e rapporti di funzioni pari e dispari. Funzioni
algebriche razionali, intere e fratte. Funzioni algebriche irrazionali. Funzione modulo ed altre funzioni con termini in modu
lo.
Funzione segno. Funzioni parte intera e parte decimale.
Funzioni periodiche. Funzioni strettamente crescenti, non
decrescenti, strettamente decrescenti, non crescenti. Funzione inversa.
Relazione tra i grafici di funzioni inverse.
Monotonia
e disparità della funzione inversa (teor. 2.3 e 2.4 senza dim.).
Definizioni elementari di esponenziale e logaritmo
e loro
grafici
. Proprietà dell'esponenziale e del logaritmo. Uso di basi diverse. Numero
e
. Logaritmi naturali.
Misura di angoli e di
archi di circonferenza in radianti. Definizioni elementari delle princi
pali funzioni goniometriche (seno, coseno, tangente,
cotangente) e loro grafici. Principali formule di goniometria. Funzioni goniometriche inverse e loro grafici. Funzioni
iperboliche ed iperboliche inverse, e loro grafici. Composizione di funzioni. Domini
o di una funzione composta.
LIMITI E CONTINUITÀ
Intorni di un punto. Intorni bucati. Intorni circolari. Concetto intuitivo di limite finito di una funzione per
x
a
finito.
Definizione rigorosa di limite finito per
x
a
finito e sua interpretazione grafi
ca. Verifica di un limite con la definizione.
Teorema dell'unicità del limite. Teorema della permanenza del segno (prima formulazione). Teorema delle operazioni sui
limiti (solo la parte (
i
) con dim
.
). Limite del prodotto tra una funzione infinitesima e un
a limitata (teor. 3.4). Funzione
continua in un punto. Teorema della permanenza del segno (seconda formulazione). Continuità di somma, differenza,
prodotto e rapporto di funzioni continue.
Continuità in un insieme. Continuità delle funzioni elementari. Con
tinuità della
funzione inversa e della funzione composta (teor. 3.7 e 3.8 senza dim.).
Risoluzione di forme indeterminate 0/0 tramite
eliminazione di un fattore comune. Teorema del confronto. Limite per
x
0 di (sen
x
)
/
x
. Altri limiti notevoli contenenti
funzioni goniometriche. Limiti notevoli contenenti logaritmi ed esponenziali. Limiti parziali. Continuità a destra e a sinist
ra
in un punto. Continuità in un generico intervallo, anche semiaperto o chiuso. Limite
±
per
x
a
finito e sua interpretazione
grafica, con esempi di verifica. Limiti infiniti solo da destra o da sinistra. Limite della reciproca di una funzione infinit
esima
(teor. 3.11).
Calcolo
di asintoti verticali.
Somme e prodotti di limiti infiniti, oppure di
un limite finito e uno infinito. Forma
indeterminate
/
e
∙
0. Limite finito per
x
±
e sua interpretazione grafica, con esempi di verifica.
Calcolo
di asintoti
orizzontali.
Limite ±
per
x
±
e sua interpretazione grafica, con esempi di verifica. Comportamento all'infinito delle
funzioni elementari.
Confronto all'infinito tra logaritmi
, esponenziali e
potenze. Ordine di infinito di una funzione, per
x
+
e per
x
a
. Ordine di infinitesimo d
i una funzione, per
x
a
e per
x
+
. Classificazione delle discontinuità.
Teorema di Bolzano
-
Cauchy
(esistenza degli zeri). Teorema dei valori intermedi. Estensioni del teorema dei valori
intermedi (ad intervalli illimitati, a limiti infiniti, ecc.). Esistenza e unicità della radice
n
-
esima. Teorema del segno costante
ed applicazione alla risoluzione di
disequazioni. Teorema di limitatezza delle funzioni continue. Teorema di Weierstrass
(esistenza degli estremi). Funzione di Dirichlet.
DERIVATE
Problema delle tangenti e problema della velocità istantanea. Rapporto incrementale. Derivata di una funzione i
n un punto.
Continuità delle funzioni derivabili. Regole di derivazioni. Derivate di alcune funzioni elementari (polinomi, potenze ad
esponente razionale, funzioni goniometriche, esponenziali, ecc.). Derivata della funzione composta. Derivata della funzion
e
inversa e sua interpretazione grafica. Derivate delle funzioni goniometriche inverse ed iperboliche inverse.
Rapporto
incrementale destro e sinistro. Derivata destra e sinistra. Derivata logaritmica. Derivate di ordine superiore. Punti di mass
imo
e di mi
nimo relativo. Teorema di Fermat (annullamento della derivata in un punto di estremo relativo). Teorema di Rolle.
Teorema di Lagrange. Calcolo diretto della derivata destra o sinistra come limite della derivata (teor. 4.7). Teorema di
Cauchy. Teorema di mo
notonia delle funzioni derivabili e teorema della derivata nulla. Applicazioni alla dimostrazione di
esistenza ed eventuale unicità di radici di equazioni e alla dimostrazione di identità. Determinazione dei punti di estremo
relativo tramite lo studio del
segno della derivata. Punti di flesso a tangente orizzontale. Punti di non derivabilità: punti
angolosi, cuspidi, flessi a tangente verticale. Determinazione di asintoti obliqui. Applicazioni allo studio di funzioni e al
tracciamento dei relativi grafici.
Differenziabilità di una funzione di una variabile ed equivalenza tra differenziabilità e
derivabilità.
Cenno sui simboli di Leibniz.
INTEGRALI
Problema delle aree. Definizione geometrica dell'area del sottografico di una funzione non negativa. Suddivision
i (o
partizioni) di un intervallo chiuso e limitato. Somme integrali inferiori e superiori di una funzione continua su un interval
lo
chiuso e limitato. Raffinamento di una partizione. Separazione delle somme integrali. Integrale inferiore e superiore.
Inte
grale di una funzione continua su un intervallo chiuso e limitato. Esempi di calcolo di un integrale con la sola definizione.
Norma di una partizione. Definizione di integrale di una funzione continua su un intervallo chiuso e limitato come limite.
Equival
enza delle due definizioni di integrale (teor. 5.3 senza dim.). Proprietà dell'integrale: monotonia, monotonia stretta,
linearità, additività rispetto all'intervallo di integrazione. Estensioni del simbolo di integrale (primo estremo maggiore o
uguale al s
econdo). Teorema della media e sua interpretazione grafica.
Disuguaglianza triangolare per gli integrali.
Definizione di funzione integrale. Dominio di una funzione integrale. Primo teorema fondamentale del calcolo integrale.
Primitiva di una funzione. Sim
bolo di integrale indefinito. Unicità della primitiva su un intervallo a meno di costanti.
Secondo teorema fondamentale del calcolo integrale. Teo
rema della media pesata. Integrali immediati. Considerazioni
sull'uso del simbolo "
dx
" all'interno di un
integrale. Integrazione per sostituzione (teor. 5.16 senza dim.). Integrazione per
parti. Altri integrali notevoli. Cenno sugli integrali impropri. Tecniche di integrazione per particolari classi di funzioni:
decomposizione in fratti semplici ed applicazio
ne all'integrazione di funzioni razionali, integrali razionalizzabili tramite
opportune sostituzioni. Studio di proprietà di funzioni integrali.
FORMULA DI TAYLOR
P
olinomio di Taylor di ordine
n
(definizione ed espressione esplicita).
Unicità del polinomi
o di Taylor.
Polinomio di Taylor
della derivata, dell'integrale e della funzione
f
(
cx
) (parte (
iii
) del teor. 7.2 solo nel caso
a
= 0).
Forma integrale del resto nella
formula di Taylor. Forma di Lagrange del resto. Applicazioni al calcolo approssimato di
valori di funzioni. Disuguaglianze
sul numero
e
e suo calcolo approssimato. Regola di De L'Hôpital nel caso della forma indeterminata 0
/
0. Estensione della
regola di De L'Hôpital al caso della forma indeterminata
/
(teor. 7.8 senza dim.).
Forme indeterminate di tipo
esponenziale. Simbolo "
o
piccolo" e regole algebriche per la sua manipolazione. Formule di linearizzazione. Formula di
Taylor con il resto espresso in forma di "
o
piccolo". Unicità del polinomio il cui resto è
o
(
x
n
) (teor. 7.11
senza dim.). Calcolo
di polinomi di Taylor di prodotti di funzioni. Applicazione alla risoluzione di forme indeterminate.
NUMERI COMPLESSI
Definizione di
C
come insieme delle coppie ordinate di numeri reali. Somma e prodotto di numeri complessi. Verifica delle
proprietà di campo.
Identificazione tra
R
e il sottocampo
C
0
. Unità immaginaria. Forma algebrica di un numero complesso.
Numeri immaginari. Numeri com
plessi coniugati. Somma e prodotto di numeri coniugati (teor. 8.3 senza dim.). Cenno
sull'impossibilità dell'ordinamento in
C
. Rappresentazione di numeri complessi nel piano di Gauss. Coordinate polari.
Formule di passaggio dalle coordinate polari a quelle
cartesiane e viceversa. Argomento di un numero complesso.
Argomento principale. Rappresentazione trigonometrica di un numero complesso. Proprietà del modulo nel campo
complesso (teor. 8.5 senza dim.). Prodotto e rapporto di numeri complessi scritti in for
ma trigonometrica. Formula di De
Moivre. Radici nel campo complesso.
SUCCESSIONI E SERIE
Definizione di successione. Limite di una successione per
n
. Successioni convergenti, divergenti e indeterminate.
Successioni regolari. Teoremi sui limiti di successioni. Successioni monotone. Regolarità delle successioni monotone (nei
due casi di successioni limitate e illimitate).
Sottosuccessioni. Regolarità de
lle sottosuccessioni. Esistenza di sottosuccessioni
regolari. Successioni definite per ricorrenza (escludere il metodo babilonese). Il numero
e
espresso come limite. Definizione
di serie. Somme parziali. Serie convergenti, divergenti, indeterminate. Regola
rità delle serie a termini di segno costante.
Condizione necessaria per la convergenza (escludere la parte del paragrafo riguardante l'applicazione del criterio di Cauchy)
.
Operazioni con le serie. Associatività. Invarianza del carattere di una serie per s
ostituzione o cancellazione di un numero
finito di termini. Serie telescopiche. Serie geometrica
ed a
pplicazioni
. Serie armonica. Numero
e
espresso come serie. Criteri
di convergenza per le serie a termini non negativi: criterio del confronto, del rapporto
, della radice, del confronto con un
integrale, del confronto asintotico (anche versione debole), dell'ordine di infinitesimo. Criteri di convergenza per le serie
a
termini di segno qualsiasi: convergenza assoluta (solo dim. II del teor. 9.28), criterio di
Leibniz. Criterio dell'ordine di
infinitesimo per gli integrali impropri. Rappresentazione decimale dei numeri reali. Cenno sull'uso di altre basi. Regole per
la
frazione gene
ratrice di un numero periodico (dim. solo del 2° caso del teor. 9.47).
QUESTIONI
DI TEORIA DEI NUMERI
Divisibilità in
N
e in
Z
. Proprietà transitiva della divisibilità. Numeri primi e composti. Teorema della fattorizzazione unica
(senza dim.). Infinità dei numeri primi. Cenni sulla funzione
(
x
) e sul teorema dei numeri primi. Semplici casi di
irrazionalità dimostrabili tramite la fattorizzazione unica (radici e logaritmi). Irrazionalità di e
(testi)
Testo di riferimento: B. Palumbo
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M.C. Signorino,
Funzioni algebriche e trascendenti
, ed. Accademica, 2015.
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Università Roma Tre