Università Roma Tre

1. Insiemi. Definizione di insieme. Quantificatori logici. Proprietà fondamentali. Prodotto cartesiano. Operazioni binarie; relazioni d’ordine; relazioni di equivalenza; funzioni.
2. Numeri reali. Il sistema dei numeri reali: assiomi algebrici e assioma dell’estremo superiore. I numeri naturali; principio di induzione e proprietà fondamentali. I numeri razionali sono un campo; proprietà archimedea; densità dei razionali. Radici ennesime e numeri irrazionali. Proprietà delle radici.
3. Successioni e serie.
Successioni. (come funzioni da N in R). Limite di una successione. Operazioni con i limiti. Limiti che coinvolgono ±∞. Teorema del confronto. Teorema della permanenza del segno. Limiti di successioni monotone. Il numero di Nepero e. Potenze con esponente reale e logaritmi.
Serie numeriche. Criteri di convergenza per serie a termini positivi. Convergenza assoluta. Serie a segni alterni (criterio di Leibnitz). La serie esponenziale. Irrazionalità di e. Funzioni iperboliche. Definizione per serie delle funzioni trigonometriche. Serie doppie e teorema di addizione per il coseno. Definizione di π. Proprietà di seno e coseno.
Teoria generale delle successioni. Massimo e minimo limite. Successioni e topologia della retta. Successioni di Cauchy. Teorema di Bolzano–Weierstrass. Insiemi numerabili. R non è numerabile.
4. Funzioni reali. Limiti di funzioni. Teorema della permanenza del segno. Funzioni continue. Funzione composta. Teoremi fondamentali sulle funzioni continue (Weierstrass, teorema degli zeri, preimmagine di aperti, immagine di intervalli e di insiemi compatti). Restrizioni; limiti sinistri/destri. Punti di discontinuità. Funzioni continue invertibili/monotone. L’uniforme continuità.

Giusti, E.: Analisi Matematica 1, Seconda Edizione Bollati Boringhieri, 1991 (edizione fuori commercio)
Giusti, E.: Esercizi e complementi di Analisi Matematica, Volume Primo, Bollati Boringhieri, 2000
Demidovich, B.P., Esercizi e problemi di Analisi Matematica, Editori Riuniti, 1993 (edizione fuori commercio)
Giusti, E.: Analisi Matematica 1, Terza Edizione Bollati Boringhieri, 2002
Rudin, W.: Principi di analisi matematica, Milano 1991 (edizione fuori commercio)