Università Roma Tre

PRELIMINARI.
INTRODUZIONE ASSIOMATICA DEI NUMERI REALI R E SOTTOINSIEMI NOTEVOLI: N, Z, Q. IRRAZIONALITÀ DI √2. METODO DI INDUZIONE CON APPLICAZIONI. IL VALORE ASSOLUTO DI UN NUMERO REALE.
IL CONCETTO DI FUNZIONE
DEFINIZIONE DI FUNZIONE, FUNZIONE SURIETTIVA, INIETTIVA, BIUNIVOCA, INVERSA, LIMITATA, COMPOSTA, PARI, DISPARI, …, MASSIMI, MINIMI, MONOTONIA, …
IL CONCETTO DI LIMITE
QUESTO CONCETTO VERRÀ ILLUSTRATO IN GRAN DETTAGLIO: DEFINIZIONI, VERIFICHE, LIMITE DESTRO, LIMITE SINISTRO, LIMITI NOTEVOLI, LIMITI INFINITI, LIMITI ALL’INFINITO, OPERAZIONI SUI LIMITI. TEOREMI: CONFRONTO, UNICITÀ, …
IL CONCETTO DI FUNZIONE CONTINUA
DEFINIZIONE DI FUNZIONE CONTINUA IN UN PUNTO, CONTINUA A DESTRA, CONTINUA A SINISTRA, CONTINUA SU UN INTERVALLO. TEOREMI RELATIVI ALLE FUNZIONI CONTINUE: TEOREMA DELL’ESISTENZA DEGLI ZERI, TEOREMA DI WEIERSTRASS, TEOREMA DELLA PERMANENZA DEL SEGNO, SOMMA, DIFFERENZA, PRODOTTO, QUOZIENTE DI FUNZIONI CONTINUE. COMPOSIZIONE DI FUNZIONI CONTINUE.
IL CALCOLO DIFFERENZIALE
VELOCITÀ MEDIA E ISTANTANEA; RAPPORTO INCREMENTALE, DEFINIZIONE DI FUNZIONE DERIVABILE IN UN PUNTO E IN UN INTERVALLO. ALGEBRA DELLE DERIVATE; CALCOLO DI DERIVATE; DERIVATA DELL’INVERSA, TEOREMA DELLA CONTINUITÀ DELLE FUNZIONI DERIVABILI, RETTA TANGENTE; IL SIMBOLO “O PICCOLO”, IL DIFFERENZIALE DI UNA FUNZIONE IN UN PUNTO.
I TEOREMI FONDAMENTALI DEL CALCOLO DIFFERENZIALE
TEOREMI DI FERMAT, ROLLE, LAGRANGE E LORO CONSEGUENZE. RELAZIONE TRA IL SEGNO DELLA DERIVATA DI UNA FUNZIONE E LA MONOTONIA DELLA FUNZIONE. DERIVATE DI ORDINE SUPERIORE, STUDIO DEL SEGNO DELLA DERIVATA SECONDA PER STABILIRE LA NATURA DI UN PUNTO CRITICO. ASINTOTI, CUSPIDI, GRAFICI, REGOLA DI L’HOPITAL.
IL CALCOLO INTEGRALE
DEFINIZIONE DI INTEGRALE DEFINITO DI UNA FUNZIONE CONTINUA E SUA INTERPRETAZIONE GEOMETRICA. TEOREMA DELLA LINEARITÀ, DELL'ADDITIVITÀ, DEL CONFRONTO E DEL MODULO. TEOREMA DELLA MEDIA E DELLA MEDIA PESATA. DEFINIZIONE DI FUNZIONE PRIMITIVA DI UNA FUNZIONE E RELATIVE PROPRIETÀ. I E II TEOREMA FONDAMENTALE DEL CALCOLO INTEGRALE. INTEGRALI INDEFINITI. INTEGRALI IMMEDIATI. FUNZIONI IPERBOLICHE E RISPETTIVE INVERSE. METODO DI INTEGRAZIONE PER SOSTITUZIONE. METODO DI INTEGRAZIONE PER PARTI. INTEGRAZIONE DELLE FUNZIONI RAZIONALI.
SERIE NUMERICHE
DEFINIZIONE DI SERIE NUMERICA. SERIE CONVERGENTE, DIVERGENTE E IRREGOLARE. SERIE TELESCOPICA E SERIE GEOMETRICA. CONDIZIONE NECESSARIA DI CONVERGENZA DI UNA SERIE. SERIE ARMONICA. PROPRIETÀ DI LINEARITÀ DI DUE SERIE CONVERGENTI. CRITERI DI CONVERGENZA PER SERIE NUMERICHE A TERMINI DI SEGNO COSTANTE: CRITERIO DEL CONFRONTO, CRITERIO DELLA RADICE, CRITERIO DEL RAPPORTO, CRITERIO DELL’INTEGRALE, CRITERIO DEL CONFRONTO ASINTOTICO. SERIE ARMONICA GENERALIZZATA. SERIE A TERMINI DI SEGNO ALTERNO. CRITERIO DI CONVERGENZA DI LEIBNIZ. SERIE NUMERICHE ASSOLUTAMENTE CONVERGENTI. CONVERGENZA DELLE SERIE DALLA ASSOLUTA CONVERGENZA.
LA FORMULA DI TAYLOR
POLINOMIO DI TAYLOR DI GRADO N DI UNA FUNZIONE CON PUNTO INIZIALE X0. POLINOMI DI MACLAURIN DELLE FUNZIONI ELEMENTARI. FORMULA DI TAYLOR DI ORDINE N. RAPPRESENTAZIONE DI LAGRANGE DEL RESTO NELLA FORMULA DI TAYLOR. APPLICAZIONI DELLA FORMULA DI TAYLOR NEI PROBLEMI DI APPROSSIMAZIONE. RAPPRESENTAZIONE DEL RESTO CON IL SIMBOLO “O PICCOLO”. APPLICAZIONI DELLA FORMULA DI TAYLOR NEI PROBLEMI DI CALCOLO DI UN LIMITE.
I NUMERI COMPLESSI
DEFINIZIONE DI NUMERO COMPLESSO. ALGEBRA DEI NUMERI COMPLESSI. MODULO, CONIUGATO, ARGOMENTO PRINCIPALE DI UN NUMERO COMPLESSO. RAPPRESENTAZIONE TRIGONOMETRICA DI UN NUMERO COMPLESSO. RAPPORTO TRA NUMERI COMPLESSI. FORMULA DI EULERO. RAPPRESENTAZIONE ESPONENZIALE DI UN NUMERO COMPLESSO. POTENZA DI UN NUMERO COMPLESSO. RADICE N-ESIMA DI UN NUMERO COMPLESSO. EQUAZIONI NEL CAMPO COMPLESSO.

NUMERI REALI E RELATIVA TOPOLOGIA, FUNZIONI REALI DI UNA VARIABILE REALE, LIMITI DI FUNZIONI, DIFFERENZIABILITÀ, INTEGRALI, FORMULA DI TAYLOR, NUMERI COMPLESSI, SERIE NUMERICHE.

A. Laforgia, Calcolo differenziale e integrale, Ed. Accademica;
P. Marcellini e C. Sbordone, Esercizi di Matematica, Vol. 1, tomi 1--4, Ed. Liguori;

NUMERI REALI E RELATIVA TOPOLOGIA, FUNZIONI REALI DI UNA VARIABILE REALE, LIMITI DI FUNZIONI, DIFFERENZIABILITÀ, INTEGRALI, FORMULA DI TAYLOR, NUMERI COMPLESSI, SERIE NUMERICHE.

A. Laforgia, Calcolo differenziale e integrale, Ed. Accademica;
P. Marcellini e C. Sbordone, Esercizi di Matematica, Vol. 1, tomi 1--4, Ed. Liguori;