Università Roma Tre

Quantificatori. I numeri: naturali, interi, razionali, reali. Assiomi dei numeri reali.
Coordinate cartesiane nel piano. Punti e vettori. Distanza: definizione formale. Valore assoluto. Densità di Q in R. Distanza nel piano. Equazione circonferenza
Algebra lineare: somma di vettori, prodotto scalare. Equivalenza della formulazione geometrica e in coordinate
Matrici 2x2. Matrici operazioni di somma e prodotto, determinante, rango di una matrice.
Rappresentazione matriciale delle trasformazioni lineari: teorema di rappresentazione. Significato geometrico del determinante. Applicazioni alle trasformazioni, altre interpretazioni del determinante.
Matrici di rotazione e omotetie. Equazione parametrica della retta. Condizioni di ortogonalità. Riflessione rispetto ad una retta. Introduzione alle funzioni. Grafici.
Operazioni con i grafici, valore assoluto di un grafico. Esponenziale, logaritmo di una funzione di cui si sa il grafico.
Insieme aperti e chiusi, punti di accumulazione, definizioni ed esempi. Definizione di limite. Operazioni con i limiti, esercizi su limite di quoziente di polinomi. Teorema del confronto.
Limiti notevoli. Funzioni continue. Teoremi sulle funzioni continue.
Asintoti. Derivate: definizione, significato geometrico. Operazioni: somma, prodotto, quoziente, prodotto per scalare. Tecniche di derivazione, derivate delle principali funzioni.
Equazione della retta tangente in un punto al grafico.
Derivata di una funzione composta e delle funzioni inverse. Punti stazionari.
Teorema di Fermat. Teoremi di Rolle e Lagrange. Monotonia e segno della derivata prima.
Derivate seconde, concavità, flessi. Studio completo di funzione. Teoremi di Cauchy e De l’Hopital. Problemi di ottimizzazione.
Polinomio di Taylor. Formula del resto di Lagrange: calcolo esplicito nel caso n=2 e poi generalizzazione. Funzioni iperboliche, coniche come luoghi geometrici.
Introduzione agli integrali: il problema del calcolo dell'area di una regione piana. Il teorema fondamentale del calcolo integrale, integrali definiti.
Il teorema della media. Integrazione per parti e sostituzione. Integrazione delle funzioni razionali.
Definizione di curva parametrica. Passaggio da parametrica a cartesiana
Esempi: circonferenza cicloide, coniche. Vettore e versore tangente, vettore e versore normale. Lunghezza di una curva. Curvatura.

G.B. THOMAS, R.L. FINNEY ELEMENTI DI ANALISI MATEMATICA E GEOMETRIA ANALITICA ED. ZANICHELLI

Bramanti, Pagani, Salsa “Analisi Matematica 1. Con elementi di geometria e algebra lineare”, Zanichelli

Naldi, Pareschi, Aletti “calcolo differenziale e algebra lineare”, Ed. Mc Graw-Hill

ROBERT A. ADAMS CALCOLO DIFFERENZIALE IED. CEA (CASA EDITRICE AMBROSIANA)

COURANT, ROBBINS "CHE COS' È LA MATEMATICA?" ED. BORINGHIERI

SISTEMI NUMERICI: N, Z, Q, R. LORO RAPPRESENTAZIONE COME "ESTENSIONI",
CIOÈ ATTRAVERSO ELEMENTI DEL PIÙ PICCOLO: Z COME ELEMENTI DI N CON
SEGNO, Q
COME COPPIE DI Z, R COME SUCCESSIONI ("CONVERGENTI") DI Q. DIALETTICA
CONTINUO/DISCRETO: R COME "TAGLI DI DEDEKIND" IN Q; APPROSSIMABILITÀ.
LORO RAPPRESENTAZIONE COME "INCLUSIONI" NEL PIÙ GRANDE: R COME RETTA
NUMERICA, POSIZIONE DEI SOTTOINSIEMI N, Z, Q. IRRAZIONALITÀ DI RADICE
DI 2.
MISURARE INSIEMI INFINITI: CARDINALITÀ DI N E DI R. NUMERABILITÀ
(PRIMO PROCEDIMENTO DIAGONALE DI CANTOR). POTENZA DEL CONTINUO
(SECONDO PROCEDIMENTO DIAGONALE DI CANTOR).
SUCCESSIONI, LIMITE DI SUCCESSIONI . SUCCESSIONI MONOTONE, DIVERGENTI,
CONVERGENTI, SENZA LIMITE. COMPOSIZIONE DI SUCCESSIONI:
ALGEBRA DEI LIMITI, TEOREMA DEI CARABINIERI.
ALCUNI NUMERI: IL NUMERO DI NEPERO E, DEFINIZIONE E APPROSSIMABILITÀ;
RADICE DI 2, SUCCESSIONI DI RAZIONALI CHE LO APPROSSIMANO ,
PROPORZIONI TRA I LATI DEI FOGLI DI FORMATO A4, A3, ...; IL NUMERO
D'ORO, COLLEGAMENTO CON I NUMERI DI FIBONACCI. IL PRINCIPIO DI
INDUZIONE.
DISUGUAGLIANZA DI BERNOULLI.
ANALISI MATEMATICA IN UNA VARIABILE:
INSIEME DI DEFINIZIONE DI UNA FUNZIONE REALE DI VARIABILE REALE.
GRAFICO DI UNA FUNZIONE. ALGEBRA DEI GRAFICI.
LIMITI DI FUNZIONI. COLLEGAMENTO CON I LIMITI DI SUCCESSIONI: TEOREMA
"PONTE". LIMITI NOTEVOLI.
DERIVATA COME LIMITE DEL RAPPORTO INCREMENTALE. VELOCITÀ DI UN MOTO.
DERIVATA PRIMA,
PENDENZA DI UNA CURVA IN UN PUNTO, VELOCITÀ ISTANTANEA. EQUAZIONI CHE
"LEGANO" TRA LORO VARIABILI IN UN "MODELLO" MATEMATICO,
INSIEME DI REINTERPRETABILITÀ DEL MODELLO.STUDIO DEI GRAFICI;
COMPORTAMENTO AI BORDI DELL' INSIEME DI DEFINIZIONE: ASINTOTI VERITCALI,
ORIZZONTALI ED OBLIQUI.
DERIVATE PRIME ED APPLICAZIONI: STUDIO DEI GRAFICI.
DERIVATA SECONDA, CONCAVITÀ DI UNA CURVA, ACCELLERAZIONE ISTANTANEA.
SINTESI GRAFICA DELLE INFORMAZIONI OTTENUTE ANALITICAMENTE.
TEOREMI SULLE FUNZIONI CONTINUE: TEOREMA DEL VALORE INTERMEDIO,
ESISTENZA DI ESTREMI LOCALI.
MASSIMI E MINIMI, TEOREMI DI FERMAT, ROLLE E LAGRANGE. TEOREMA DI
CAUCHY E REGOLA DI DE L' HOPITAL. APPROSIMAZIONR DEGLI ZERI DI UNA
FUNZIONE: METODO DI NEWTON APPROSSIMAZIONE DI UNA FUNZIONE CON
POLINOMI, POLINOMIO DI TAYLOR DI
UNA FUNZIONE.

INTEGRAZIONE. INTEGRALI INDEFINITI. SOMME DI RIEMANN, CALCOLO DELLE
AREE COME LIMITI DI SOMME DI RIEMANN; INTEGRALE DEFINITO E TEOREMA DI
TORRICELLI
(O "FONDAMENTALE DEL CALCOLO"). FORMULA FONDAMENTALE DEL CALCOLO.
APPLICAZIONI: CALCOLO DI AREE, RICERCA DI PRIMITIVE. METODI DI
INTEGRAZIONE:
INTEGRAZIONE DI POLINOMI, DI FUNZIONI TRIGONOMETRICHE, INTEGRAZIONE
PER SOSTITUZIONE E PER PARTI. INTEGRALI IMPROPRI

G.B. THOMAS, R.L. FINNEY ELEMENTI DI ANALISI MATEMATICA E GEOMETRIA
ANALITICA ED. ZANICHELLI
ROBERT A. ADAMS CALCOLO DIFFERENZIALE IED. CEA (CASA EDITRICE AMBROSIANA)

INOLTRE SI CONSIGLIA:
COURANT, ROBBINS "CHE COS' È LA MATEMATICA?" ED. BORINGHIERI