Università Roma Tre

I numeri dei paragrafi e dei teoremi si riferiscono al libro di Chierchia o al libro di Giusti (in tal caso indicato con [G]).
SD significa ‘senza dimostrazione’
1. Integrale di Riemann in Rn
Ripasso sull’integrale di Riemann in una dimensione ([G], par. 12.1). Rettangoli in R2, funzioni a supporto compatto, funzioni semplici e loro integrale, definizione di funzione integrabile secondo Riemann in R2 (quindi Rn).
Definizione di insieme misurabile ([G], Def. 12.3), un insieme è misurabile se e solo se la sua frontiera ha misura nulla ([G], Prop. 12.1 SD). Insiemi normali rispetto agli assi cartesiani. Una funzione continua su un insieme misurabile è integrabile ([G], Teo. 12.1 SD). Teorema di riduzione di Fubini ([G], Teo. 12.2 SD).
Formula del cambio di variabile negli integrali (SD). Coordinate polari, cilindriche, sferiche. Esempi: calcolo di alcuni baricentri e momenti di inerzia.
2. Curve regolari
Curve regolari in R^n ([G], cap 15). Versore tangente.
Due curve equivalenti percorse nello stesso verso hanno lo stesso versore tangente ([G], Teo 15.1).
Lunghezza di una curva. E’ maggiore dello spostamento ([G], Teo 15.2)
Due curve equivalenti hanno la stessa lunghezza ([G], Teo 15.3 SD)
Integrali curvilinei.

3. Superfici, flussi e teorema della divergenza.
Richiami sul prodotto vettoriale. Definizione di superficie regolare ([G], Def. 15.4). Piano tangente e versore normale. Area di una superficie ([G], Def. 15.6). Esempi: grafici di funzioni e superfici di rotazione. Integrali superficiali. Flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie. Esempi. Enunciato del teorema della divergenza. Dimostrazione del teorema della divergenza (per domini normali rispetto ai tre assi cartesiani, [G] formula 16.21).

4. Forme differenziali e lavoro.
1-Forme differenziali (paragrafo 10.4). Integrale di una 1-Forma differenziale (lavoro di un campo vettoriale), forme chiuse ed esatte. Una forma è esatta se e solo se l’integrale su una qualsiasi curva chiusa nullo. Esempio di forma chiusa non esatta.
Derivate sotto segno di integrale (Prop. 5.47 della vecchia edizione SD). Insiemi stellati (Prop. 10.16); una forma chiusa su un dominio stellato è esatta.
Campi irrotazionali e conservativi, solenoidali e potenziale vettore (su insiemi stellati, Prop 10.19). Il teorema di Green nel piano (Teo. 10.20) Il teorema del Rotore (Teo 10.21).

5. Serie e successioni di funzioni
Serie e successioni di funzioni (Cap.5.3): convergenza puntuale, uniforme e totale. Continuità del limite, integrazione e derivazione di successioni di funzioni uniformemente convergenti (SD).
Serie di potenze (Cap. 5.4): raggio di convergenza. Esempi di serie di Taylor di funzioni elementari.
6. Serie di Fourier
Serie di Fourier, coefficienti di Fourier. Proprietà dei coefficienti di Fourier, disuguaglianza di Bessel, Lemma di Riemann Lebesgue (Prop. 9.8 SD)
Convergenza puntuale della serie di Fourier (test del Dini, Lemma 9.12 SD). Convergenza totale nel caso di funzioni C1 (Prop. 9.24). Uguaglianza di Parseval.
7 Serie di potenze di matrici.

Giusti, Analisi Matematica 2, Boringhieri
Luigi Chierchia, AnalisiMatematica.n

I numeri dei paragrafi e dei teoremi si riferiscono al libro di Chierchia o al libro di Giusti (in tal caso indicato con [G]).
Il modulo è costituito dalle dimostrazioni dei seguenti risultati.
1. Integrale di Riemann in Rn
Un insieme è misurabile se e solo se la sua frontiera ha misura nulla ([G], Prop. 12.1). Una funzione continua su un insieme misurabile è integrabile ([G], Teo. 12.1). Teorema di riduzione di Fubini ([G], Teo. 12.2).
2. Curve regolari
Due curve equivalenti hanno la stessa lunghezza ([G], Teo 15.3)

3. Serie e successioni di funzioni
Continuità del limite, integrazione e derivazione di successioni di funzioni uniformemente convergenti.
4. Serie di Fourier
Proprietà dei coefficienti di Fourier, disuguaglianza di Bessel, Lemma di Riemann Lebesgue (Prop. 9.8) Convergenza puntuale della serie di Fourier (test del Dini, Lemma 9.12).

Giusti, Analisi Matematica 2, Boringhieri
Luigi Chierchia, AnalisiMatematica.n