Università Roma Tre

1. Funzioni di n variabili reali
Spazi vettoriali. Prodotto scalare (disuguaglianza di Cauchy-Schwarz), norma, distanza,
topologia standard, compattezza in Rn . Funzioni continue da Rn in Rm. Continuita' ed uniforme continuita'. Teorema di Weierstrass.
Definizioni di derivata parziale e direzionale, funzioni differenziabili, gradiente.
Teorema del differenziale totale Lemma di Schwarz, Prop. 5.24. Funzioni Ck, regola della catena . Matrice hessiana.
Formula di Taylor al secondo ordine. Punti stazionari massimi e minimi Matrici definite positive.
Hessiano e studio della natura dei punti stazionari;
Funzioni differenziabili da Rn ad Rm; Matrice jacobiana. Matrice jacobiana della
composizione.

2. Spazi normati e spazi di Banach
Esempi. Successioni convergenti e di Cauchy . Norme equivalenti . Equivalenza delle norme in Rn. Lo spazio delle
funzioni continue con la norma del sup uno spazio di Banach. Esponenziale di matrice.
Equazioni differenziali ordinarie a coefficienti costanti . Serie di Neumann
Il teorema del punto fisso in spazi di Banach.

3. Funzioni implicite
Il teorema delle funzioni implicite Teo. 7.1 (con la Prop. 7.4 e il Teorema della
Funzione Inversa).
Massimi e minimi vincolati, moltiplicatori di Lagrange (Prop. 7.9).

4. Equazioni differenziali ordinarie
Esempi: equazioni a variabili separabili, sistemi lineari a coefficienti costanti
(soluzione con l’esponenziale di matrice), sistemi conservativi unidimensionali.
Teorema di esistenza e unicita’ (Teo 8.8).
Dipendenza Lipschitziana dai dati iniziali Prop. 8.10.
L’insieme delle soluzioni di un sistema di equazioni differenziali lineari di ordine n
forma uno spazio vettoriale n-dimensionale (vedi paragrafo 8.5). Wronskiano, variazione di costanti.

Chierchia Analisi Matematica II

Giusti Analisi Matematica II