Insegnamento | CFU | SSD | Ore Lezione | Ore Eserc. | Ore Lab | Ore Studio | Attività | Lingua | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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20402075 -
AL210 - ALGEBRA 2
(obiettivi)
Introdurre lo studente ai concetti e alle tecniche dell'algebra astratta attraverso lo studio delle prime proprietà delle strutture algebriche fondamentali: gruppi, anelli e campi
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VIVIANI FILIPPO
(programma)
Semigruppi, Monoidi e Gruppi: definizioni ed esempi. Proposizione: unicita' dell'elemento neutro e dell'inverso; proprieta' dell'inverso. Il gruppo degli elementi invertibili di un monoide. Concetti di base: commutativita' (o abelianita'); ordine; sottosemigruppi/sottomonoidi/sottogruppi; isomorfismi.
(testi)
Associativita' e Commutativita' generalizzate. Potenze di elementi. Il sottosemigruppo/sottomonoide/sottogruppo generato da un sottoinsieme: unicita' ed esistenza. Il teorema di Cayley per monoidi e gruppi: ogni monoide (risp. gruppo) e' isomorfo ad un sottomonoide (risp. sottogruppo) del monoide (risp. gruppo) delle trasformazioni (risp. delle permutazioni) su se stesso. Le classi laterali destre e sinistre rispetto un sottogruppo. Proprieta': le classi laterali destre e sinistre formano una partizione del gruppo; la cardinalita' di ogni classe laterale e' uguale alla cardinalita' del sottogruppo; esiste una biezione tra classi laterali sinistre e destre. Corollari: l'ordine di un sottogruppo divide l'ordine di un gruppo finito (teorema di Lagrange), l'ordine di un elemento divide l'ordine di un gruppo finito. Esempi: le classi laterali sinistre o destre di nℤ (1) Hungerford: Algebra. Graduate Texts in Mathematics, 73. Springer-Verlag, New York-Berlin, 1980.
(2) J. Milne: Group Theory. Note disponibili nella pagina web di James Milne. |
9 | MAT/02 | 60 | 24 | - | - | Attività formative caratterizzanti | ITA | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
20402076 -
AM210 - ANALISI MATEMATICA 3
(obiettivi)
Acquisire una buona conoscenza di alcuni metodi e risultati fondamentali nello studio delle funzioni di più variabili e delle equazioni differenziali
-
PROCESI MICHELA
(programma)
1. Funzioni di n variabili reali
(testi)
Spazi vettoriali. Prodotto scalare (disuguaglianza di Cauchy-Schwarz), norma, distanza, topologia standard, compattezza in Rn . Funzioni continue da Rn in Rm. Continuita' ed uniforme continuita'. Teorema di Weierstrass. Definizioni di derivata parziale e direzionale, funzioni differenziabili, gradiente. Teorema del differenziale totale Lemma di Schwarz, Prop. 5.24. Funzioni Ck, regola della catena . Matrice hessiana. Formula di Taylor al secondo ordine. Punti stazionari massimi e minimi Matrici definite positive. Hessiano e studio della natura dei punti stazionari; Funzioni differenziabili da Rn ad Rm; Matrice jacobiana. Matrice jacobiana della composizione. 2. Spazi normati e spazi di Banach Esempi. Successioni convergenti e di Cauchy . Norme equivalenti . Equivalenza delle norme in Rn. Lo spazio delle funzioni continue con la norma del sup uno spazio di Banach. Esponenziale di matrice. Equazioni differenziali ordinarie a coefficienti costanti . Serie di Neumann Il teorema del punto fisso in spazi di Banach. 3. Funzioni implicite Il teorema delle funzioni implicite Teo. 7.1 (con la Prop. 7.4 e il Teorema della Funzione Inversa). Massimi e minimi vincolati, moltiplicatori di Lagrange (Prop. 7.9). 4. Equazioni differenziali ordinarie Esempi: equazioni a variabili separabili, sistemi lineari a coefficienti costanti (soluzione con l’esponenziale di matrice), sistemi conservativi unidimensionali. Teorema di esistenza e unicita’ (Teo 8.8). Dipendenza Lipschitziana dai dati iniziali Prop. 8.10. L’insieme delle soluzioni di un sistema di equazioni differenziali lineari di ordine n forma uno spazio vettoriale n-dimensionale (vedi paragrafo 8.5). Wronskiano, variazione di costanti. Chierchia Analisi Matematica II
Giusti Analisi Matematica II |
9 | MAT/05 | 60 | 24 | - | - | Attività formative caratterizzanti | ITA | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
20402079 -
GE210 - GEOMETRIA 2
(obiettivi)
Acquisire una buona conoscenza della teoria delle forme bilineari e delle loro applicazioni geometriche. Una applicazione importante sarà lo studio della geometria euclidea, soprattutto nel piano e nello spazio, e la classificazione euclidea delle coniche e delle superfici quadriche
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LOPEZ ANGELO
(programma)
Geometria euclidea
(testi)
Forme bilineari e forme quadratiche. Diagonalizzazione delle forme quadratiche. Prodotti scalari. L'operazione di prodotto vettoriale. Spazi euclidei. Operatori unitari e isometrie. Isometrie di piani e di spazi tridimensionali. Diagonalizzazione di operatori simmetrici. Il caso complesso. Geometria proiettiva Spazi proiettivi. Geometria affine e geometria proiettiva. Dualità. Cambiamenti di coordinate omogenee e proiettività. Curve algebriche piane Generalità. Curve algebriche reali. Classificazione delle coniche proiettive. Classificazione di coniche affini e coniche euclidee. E. Sernesi: Geometria I, Bollati Boringhieri (1989)
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9 | MAT/03 | 60 | 24 | - | - | Attività formative caratterizzanti | ITA | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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Insegnamento | CFU | SSD | Ore Lezione | Ore Eserc. | Ore Lab | Ore Studio | Attività | Lingua | ||||||||||||||||||
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20402077 -
AM220 - ANALISI MATEMATICA 4
(obiettivi)
Acquisire una buona conoscenza dei concetti e metodi relativi alla teoria della integrazione classica in più variabili e su varietà
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9 | MAT/05 | 60 | 24 | - | - | Attività formative caratterizzanti | ITA | ||||||||||||||||||
20402081 -
FM210 - FISICA MATEMATICA 1
(obiettivi)
Acquisire una buona conoscenza di base della teoria dei sistemi meccanici conservativi e dei primi elementi di meccanica analitica, in particolare della meccanica Lagrangiana
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GENTILE GUIDO
(programma)
Sistemi meccanici conservativi. Analisi qualitativa del moto e stabilità secondo Ljapunov. Sistemi planari e sistemi meccanici unidimensionali. Moti centrali e problema dei due corpi. Cambiamento di sistemi di riferimento. Forze apparenti. Vincoli. Sistemi rigidi. Meccanica lagrangiana. Principi variazionali. Variabili cicliche, costanti del moto e simmetrie.
(testi)
Meccanica hamiltoniana. Teorema di Liouville e terorema del ritorno di Poincaré. Trasformazioni canoniche. Funzioni generatrici. Metodo di Hamilton-Jacobi e variabili azione-angolo. G. Gentile, Introduzione ai sistemi dinamici. 1. Equazioni differenziali ordinarie, analisi qualitativa e alcune applicazioni, disponibile online
G. Gentile, Introduzione ai sistemi dinamici. 2. Meccanica lagrangiana e hamiltoniana, disponibile online |
9 | MAT/07 | 60 | 24 | - | - | Attività formative caratterizzanti | ITA | ||||||||||||||||||
20402080 -
GE220 - GEOMETRIA 3
(obiettivi)
Acquisire una buona conoscenza di concetti e metodi della topologia generale, con particolare riguardo allo studio delle proprietà principali degli
spazi topologici quali connessione e compattezza. Introdurre lo studente ai primi elementi di topologia algebrica, attraverso l'introduzione del gruppo fondamentale e la classificazione topologica di curve e superfici
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MASCARENHAS MELO ANA MARGARIDA
(programma)
Spazi topologici e loro proprieta':
(testi)
definizione e esempi di spazi topologici; base per una topologia; funzione continue; prodotto di spazzi topologici; spazi di Hausdorff; sucessioni; spazi metrici; spazi connessi; spazi compatti; Teorema di Tychonoff. Equivalenza omotopica e Gruppo fondamentale di spazi topologici. Rivestimenti. J. R. Munkres: Topology: a first course, Prentice Hall, 1974.
M. Manetti: Topologia, Springer, 2014. A. Hatcher: Algebraic Topology, Cambridge University Press, 2002 |
9 | MAT/03 | 60 | 24 | - | - | Attività formative caratterizzanti | ITA | ||||||||||||||||||
20401889 -
CP110 - PROBABILITÀ 1
(obiettivi)
Acquisire una buona conoscenza degli aspetti principali della probabilità discreta: spazi di probabilità discreti, prove ripetute, variabili aleatorie, distribuzioni di probabilità, alcuni teoremi limite e i risultati più semplici per catene di Markov finite
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CAPUTO PIETRO
(programma)
Analisi Combinatoria. Introduzione al calcolo combinatorio: permutazioni,
(testi)
combinazioni, esempi. Assiomi della probabilita'. Spazi campionari, eventi, assiomi della probabilita'. Eventi equiprobabili e altri esempi. Probabilita' condizionata e indipendenza. Probabilita' condizionata, formula di Bayes, eventi indipendenti. Variabili aleatorie discrete. Variabili di Bernoulli, binomiali e di Poisson. Altre distribuzioni discrete: geometrica, ipergeometrica, binomiale negativa. Valore atteso e varianza di una variabile discreta. Esempi. Variabili aleatorie continue. Densita' di probabilita' e funzione di distribuzione. Distribuzione uniforme su un intervallo, esponenziale, gamma, e gaussiana. Valore atteso e varianza per variabili continue. Metodo della trasformazione per la simulazione di variabili aleatorie continue. Variabili indipendenti e leggi congiunte. Leggi congiunte, variabili aleatorie indipendenti. Densita' della somma di due variabili indipendenti. Prodotto di convoluzione per distribuzioni normali, gamma, Poisson. Legame tra distribuzione esponenziale e distribuzione di Poisson. Processo di Poisson. Massimi e minimi di variabili indipendenti. Teoremi limite. Disuguaglianze di Markov e Chebyshev. Legge dei grandi numeri debole. Funzione generatrice dei momenti e cenni di dimostrazione del Teorema del limite centrale. Sheldon M. Ross, Calcolo delle Probabilita'. Apogeo (2007).
F. Caravenna, P. Dai Pra, Probabilita'. Springer (2013). |
10 | MAT/06 | 60 | 36 | - | - | Attività formative caratterizzanti | ITA | ||||||||||||||||||
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Insegnamento | CFU | SSD | Ore Lezione | Ore Eserc. | Ore Lab | Ore Studio | Attività | Lingua | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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Insegnamento | CFU | SSD | Ore Lezione | Ore Eserc. | Ore Lab | Ore Studio | Attività | Lingua | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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20402082 -
FS220 - FISICA 2
(obiettivi)
Acquisire buona conoscenza degli argomenti dell’elettromagnetismo classico, in particolare introdurre lo studente al concetto di carica come sorgente di campo e alle equazioni fondamentali del campo elettromagnetico
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PLASTINO WOLFANGO
(programma)
Elettrostatica nel vuoto: carica elettrica e legge di Coulomb.
(testi)
Campo elettrico. Campo elettrostatico generato da sistemi di cariche. Teorema di Gauss Potenziale elettrico. Dipolo elettrico. Sistemi di conduttori e campo elettrostatico: campo elettrostatico e distribuzioni di carica nei conduttori. Capacità elettrica. Sistemi di condensatori. Energia del campo elettrostatico. Il problema generale dell’elettrostatica nel vuoto e sua soluzione in alcuni casi notevoli. Elettrostatica in presenza di dielettrici: la costante dielettrica. Interpretazione microscopica. Vettore polarizzazione elettrica P. Le equazioni ed il problema generale dell’elettrostatica in presenza di dielettrici Energia elettrostatica in presenza di dielettrici. Corrente elettrica stazionaria: conduttori; corrente elettrica. Densità di corrente ed equazione di continuità. Resistenza elettrica e legge di Ohm. Fenomeni dissipativi. Forza elettromotrice e generatori elettrici. Circuiti in corrente continua. Cariche su conduttori percorsi da corrente. Conduzione elettrica nei liquidi e gas. Fenomeni magnetici stazionari nel vuoto: forza di Lorentz e vettore induzione magnetica B. Azioni meccaniche su circuiti percorsi da corrente stazionaria in un campo magnetico esterno. Campo Bo generato da correnti stazionarie nel vuoto. Proprietà del vettore induzione magnetica Bo nel caso stazionario. Potenziali magnetostatici. Interazioni fra circuiti percorsi da corrente stazionaria. Effetto Hall. Magnetismo nella materia: polarizzazione magnetica e sue relazioni con le correnti microscopiche. Equazioni fondamentali della magnetostatica in presenza di materia e le condizioni di raccordo per B ed H. Sostanze diamagnetiche, paramagnetiche, ferromagnetiche. Interpretazione microscopica dei fenomeni di magnetizzazione della materia. Circuiti magnetici, elettromagneti e magneti permanenti. Campi elettrici e magnetici variabili nel tempo: induzione elettromagnetica. Legge di Faraday-Neumann. Flusso tagliato. Flusso concatenato. Fenomeno della autoinduzione e induzione mutua. Energia magnetica ed azioni meccaniche. Correnti alternate: grandezze alternate. Metodo simbolico. Fenomeno della risonanza. Potenza assorbita. Onde elettromagnetiche: equazioni di Maxwell. Equazione delle onde elettromagnetiche. Onde piane e sferiche. Onde elettromagnetiche nei dielettrici e nei conduttori. Spettro delle onde elettromagnetiche. Conservazione dell’energia e vettore di Poynting. Quantità di moto di un’onda elettromagnetica. Pressione di radiazione. Densità di quantità di moto del campo elettromagnetico. Potenziali del campo elettromagnetico. Fenomeni classici di interazione radiazione e materia: riflessione e rifrazione delle onde elettromagnetiche. Dispersione della luce. Radiazione polarizzata. Principio di Huygens-Fresnel e teorema di Kirchhoff. Interferenza; diffrazione. Ottica geometrica: raggi luminosi. Specchi. Diottro. Lenti. Fotoni e materia: teoria classica della radiazione di corpo nero. Legge di Planck per lo spettro di corpo nero. Effetto fotoelettrico. Effetto Compton. Dualismo particella-onda. Introduzione ai concetti di meccanica quantistica. C. Mencuccini, V. Silvestrini, Fisica - Elettromagnetismo Ottica. Casa Editrice Ambrosiana, (2016)
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9 | FIS/01 | 60 | 24 | - | - | Attività formative affini ed integrative | ITA | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
20402131 -
INGLESE SCIENTIFICO
(obiettivi)
ESSERE IN GRADO DI TRADURRE IN ITALIANO LIBRI O ARTICOLI IN INGLESE DI ARGOMENTO MATEMATICO.
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Erogato presso
20402131 INGLESE SCIENTIFICO in Matematica L-35 N0 BRUNO ANDREA
(programma)
E' sufficiente aver letto articoli o testi di matematica in inglese nel proprio corso di studi
(testi)
Non ci sono testi privilegiati
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1 | - | - | - | - | Ulteriori attività formative (art.10, comma 5, lettera d) | ITA | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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20401599 -
PROVA FINALE
(obiettivi)
Prova scritta su argomenti fondamentali della Matematica o discussione di un breve elaborato
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9 | 225 | - | - | - | Per la prova finale e la lingua straniera (art.10, comma 5, lettera c) | ITA |
Insegnamento | CFU | SSD | Ore Lezione | Ore Eserc. | Ore Lab | Ore Studio | Attività | Lingua | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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20410386 -
AL110-ALGEBRA 1
(obiettivi)
Fornire gli elementi del "linguaggio matematico" (teoria degli insiemi, logica elementare, insiemi numerici) e far acquisire la conoscenza degli strumenti di base dell'algebra moderna (nozioni di operazione, gruppo, anello, campo) attraverso lo sviluppo di esempi che ne forniscano le motivazioni.
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TARTARONE FRANCESCA
(programma)
INSIEMI ED APPLICAZIONI. RELAZIONI DI EQUIVALENZA. I NUMERI NATURALI. ASSIOMI DI PEANO. PRINCIPIO DI INDUZIONE. PRINCIPIO DEL BUON ORDINAMENTO. COSTRUZIONE DELL'INSIEME DEI NUMERI INTERI E DELL'INSIEME DEI NUMERI RAZIONALI. PRIME PROPRIETÀ DEI NUMERI COMPLESSI. DIVISIBILITÀ NEGLI INTERI, ALGORITMO EUCLIDEO, MCD. DEFINIZIONI ED ESEMPI DELLE PRINCIPALI STRUTTURE ALGEBRICHE: GRUPPI, ANELLI E CAMPI. GRUPPO DELLE UNITÀ DI UN ANELLO. GRUPPI DI PERMUTAZIONI. L'ANELLO DELLE CLASSI RESTO MODULO N. CONGRUENZE LINEARI. FUNZIONE PHI DI EULERO. ANELLI DI POLINOMI A COEFFICIENTI NUMERICI: DEFINIZIONE, PRIME PROPRIETÀ, DIVISIBILTÀ, CRITERI DI IRRIDUCIBILTÀ, LEMMA DI GAUSS E POLINOMI PRIMITIVI.
(testi)
- G.M. PIACENTINI CATTANEO: ALGEBRA, UN APPROCCIO ALGORITMICO, DECIBEL-ZANICHELLI, (1996)
- M. FONTANA E S. GABELLI: INSIEMI, NUMERI E POLINOMI, CISU, (1989) - R.B.J.T. ALLENBY: RINGS, FIELDS AND GROUPS, EDWARD ARNOLD, (1991) - M. ARTIN: ALGEBRA, PRENTICE-HALL, (1991) |
9 | MAT/02 | 60 | 36 | - | - | Attività formative di base | ITA | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
20410387 -
AM110-ANALISI MATEMATICA 1
(obiettivi)
Acquisire buona conoscenza sui concetti ed i metodi di base dell'Analisi Matematica con particolare riguardo alla struttura dei numeri reali, alla teoria dei limiti, allo studio delle funzioni ed alle prime applicazioni e modelli.
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CHIERCHIA LUIGI
(programma)
Assiomatica di R (incluso definizione induttiva di N, proprietà archimedea, densità dei razionali in R).
(testi)
Teoria dei limiti di funzioni di variabile reale a valori in R (incluso la teoria dei limiti per successioni e serie). Topologia e successioni. Funzioni continue e uniformemente continue: teoremi fondamentali; invarianti per trasformazione continue. NB: una parte importante del corso è dedicata alla definizione rigorosa ed alle proprietà fondamentali delle principali funzioni analitiche elementari (radici, esponenziali, logaritmi, funzioni iperboliche e trigonometriche e loro inverse). Luigi Chierchia AnalisiMatematica.1, Una introduzione rigorosa all'analisi matematica su R; Parte 1 - Dispense AA 2018-2019 ( Libreria Efesto )
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12 | MAT/05 | 60 | 36 | - | - | Attività formative di base | ITA | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
20410336 -
IN110-ALGORITMI E STRUTTURE DATI
(obiettivi)
Acquisire una buona conoscenza nella progettazione di algoritmi per la risoluzione di problemi e nella codifica di algoritmi con un linguaggio di programmazione (linguaggio C). Introdurre lo studente ad alcuni dei concetti fondamentali della matematica discreta (cenni sulla teoria dei grafi) ed in particolare ai primi elementi di ottimizzazione discreta (algoritmi di ottimizzazione su grafi, visita di grafi, cammini minimi, alberi ricoprenti).
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MAIELI ROBERTO
(programma)
1. Problemi ed algoritmi
(testi)
Introduzione alle caratteristiche del calcolatore ed al rapporto programmatore/esecutore; compiti ed abilità del programmatore; principali caratteristiche ed abilità dell’esecutore, operazioni di base (logiche, aritmetiche e di confronto). Modelli di macchina calcolatrice: cenni sul modello di Von Neumann e sulla macchina di Turing. Linguaggi di programmazione: linguaggi imperativi e dichiarativi. Istruzioni fondamentali di un linguaggio di programmazione procedurale generico. Algoritmi e programmi; diagrammi di flusso. Regole della programmazione strutturata, cenni sul teorema di Jacopini-Bohm; approccio top–down alla soluzione di un problema. 2. Il linguaggio C Organizzazione della memoria di un calcolatore, indirizzi, parole, puntatori. Codifica binaria. Tipi di dato, strutture dati (array, matrici, pile, code, code di priorità, liste, alberi, grafi). Linguaggio macchina, linguaggi di alto livello; compilatori ed interpreti, compilazione ed esecuzione di un programma C in ambiente UNIX/Linux. Il linguaggio C: scopi e principali caratteristiche. La struttura di un programma C, l’inclusione degli header, dichiarazione delle variabili; le librerie. Tipi di dato elementari in linguaggio C: interi,floating point, double, char. Puntatori; aritmetica sui puntatori. Array e matrici e loro rappresentazione in memoria. Strutture dati complesse: liste, alberi, grafi; l’istruzione “struct”. Operatore di assegnazione, operatori aritmetici in C in forma estesa e compatta. Strutture di controllo: “if...else...”, “while...”, “do...while”, “for...”. Funzioni: funzioni di libreria e funzioni definite dall’utente. Passaggio di parametri per valore e per indirizzo alle funzioni. Funzioni ricorsive. Funzioni di input/output: printf, scanf, fprintf, fscanf; funzioni per la gestione della memoria: malloc, free, sizeof; gestione di liste di record collegati tramite puntatori. 3. Algoritmi di ordinamento Algoritmi di ordinamento elementari: Insertion sort, Selection sort, Bubble sort; l’approccio “divide et impera”, l’algoritmo Quick sort. Strutture di tipo LIFO (Last In First Out), pile; strutture di tipo FIFO (First In First Out), code; code di priorità, gli heap. Algoritmi ottimi per l’ordinamento: Heap sort, Merge sort. Complessità di un algoritmo, la notazione “O grande”, analisi della complessità degli algoritmi di ordinamento. 4. Algoritmi elementari sui grafi Definizioni principali: grafo, grafo orientato; sottografo, sottografo indotto; cammino, cammino semplice, grafo connesso, grafo fortemente connesso, grafo completo, clique, ciclo, grafo aciclico; alberi, foreste, spanning treedi un grafo. Strutture dati per la rappresentazione di grafi mediante un calcolatore: liste di adiacenza e matrici di adiacenza. Algoritmi di visita di un grafo: visita in ampiezza (BFS), visita in profondità (DFS), ordinamento topologico di un grafo orientato aciclico. Problemi di cammino minimo su un grafo, l’algoritmo di Dijkstra. Alberi binari di ricerca: definizione e algoritmi per l’ordinamento degli elementi, la ricerca di un elemento, la ricerca del massimo e del minimo l’inserimento e la cancellazione di un vertice dell’albero. Analisi della complessità degli algoritmi presentati. Cenni sulle classi dei problemi P, NP, NP-completi. Il problema “P=NP”. [1] T.H. Cormen, C.E. Leiserson, R.L. Rivest, C. Stein, Introduzione agli algoritmi e strutture dati. McGraw–Hill, (Terza edizione, 2010).
[2] M. Liverani, Programmare in C. Esculapio, (Seconda edizione, 2013). [3] A. Bellini, A. Guidi, Linguaggio C - Guida alla programmazione. McGraw-Hill, (Quarta edizione, 2009). |
9 | INF/01 | 60 | 36 | - | - | Attività formative di base | ITA | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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Insegnamento | CFU | SSD | Ore Lezione | Ore Eserc. | Ore Lab | Ore Studio | Attività | Lingua |
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20410335 -
GE110-GEOMETRIA E ALGEBRA LINEARE 1
(obiettivi)
Acquisire una buona conoscenza dei concetti e metodi dell'algebra lineare di base, con particolare riguardo allo studio dei sistemi lineari, matrici e determinanti, spazi vettoriali e applicazioni lineari, geometria affine.
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VIVIANI FILIPPO
(programma)
Richiami di Campi: definizioni ed esempi, sottocampi ed estensione di campi, campi algebricamente chiusi.
(testi)
Spazi vettoriali su un campo: definizione e prime proprieta'. Esempi di spazi vettoriali: lo spazio vettoriale standard (o numerico), gli spazi numerici infiniti, lo spazio dei polinomi, lo spazio delle funzioni da un insieme ad un campo , lo spazio delle funzioni continue reali, estensione di campi come spazi vettoriali, lo spazio delle matrici a coefficienti in un campo. Sottospazi vettoriali: definizione e caratterizzazione tramite la chiusura per addizione vettoriale e moltiplicazione scalare, l'intersezione e la somma di sottospazi. Esempi di sottospazi: il sistema lineare omogeneo associato ad una matrice e il suo insieme di soluzioni come sottospazio vettoriale. Costruzioni di spazi vettoriali: prodotto diretto e somma diretta esterna di una collezione di spazi vettoriali, famiglie indipendenti di sottospazi, la somma diretta interna di una famiglia indipendente di sottospazi, la somma diretta interna e' isomorfa alla somma diretta esterna. Combinazioni lineari di vettori: ridotte, vuote, banali, nulle. Il sottospazio generato da un sottoinsieme di uno spazio vettoriale e sue proprieta'. Sottoinsiemi generanti. Sottoinsiemi linearmente indipendenti e loro caratterizzazione tramite le combinazioni lineari. Basi e loro caratterizzazione tramite le combinazioni lineari. Esempi di basi. Proposizione: dati due insiemi I⊆S con I linearmente indipendente e S generante, allora esiste una base B tale che I⊆B⊆S (dimostrazione solo nel caso S finito). Corollario: ogni spazio vettoriale ammette una base, ogni insieme linearmente indipendente e' contenuto in una base, ogni insieme generante contiene una base. Teorema dell'invarianza della cardinalita' delle basi (con dimostrazione solo nel caso di dimensione finita): due basi di uno spazio vettoriale hanno la stessa cardinalita'. La dimensione di uno spazio vettoriale. Teorema di classificazione degli spazi vettoriali: due spazi vettoriali sono isomorfi se e solo se hanno la stessa dimensione. Esercizi: come passare da un sottospazio di F^n dato in forma cartesiana ad una sua forma parametrica e come trovare una sua base, come passare da un sottospazio di F^nn dato in forma parametrica ad una sua forma cartesiana; come calcolare la somma e l'intersezione di due sottospazi di F^n; come mostrare che un sottoinsieme I⊆Fn e' linearmente indipendente e come estendere I ad una base; come mostrare che un sottoinsieme S⊆Fn e' generante e come estrarre una base. Formula di Grassmann per la dimensione della somma e dell'intersezione di due sottospazi. Applicazioni lineari (o omomorfismi lineari) tra spazi vettoriali: monomorfismi, epimorfisimi, isomorfismi, operatori lineari (o endormorfismi). Esempi: l'inclusione di un sottospazio, la proiezione di una somma diretta su un fattore, l'applicazione lineare associata ad una matrice. Proprieta' algebriche delle applicazioni lineari: Hom(V,W) e' uno spazio vettoriale, la composizione ∘:Hom(V,W)×Hom(W,U)→Hom(V,U) e' associativa e bilineare, data un'applicazione lineare biettiva l'inverso e' un'applicazione lineare biettiva. Proposizione: un'applicazione lineare e' univocamente determinata dai suoi valori su una base del dominio. Il nucleo e l' immagine di un'applicazione lineare. Ogni applicazione lineare da F^n a F^m e' della forma \Phi_A per una matrice A. Proposizione: il nucleo di Φ_A e' l'insieme delle soluzioni associate al sistema lineare omogeneo con matrice associata A, l'immagine di Φ_A e' lo span delle colonne di A. La moltiplicazione di matrici e le sue proprieta': associativita', bilinearita', elemento neutro. Il rango di una matrice: il rango per colonne coincide con il rango per righe. Proposizione (criterio di invertibilita'): una matrice quadrata e' invertibile se e solo se ha rango massimale se e solo se puo' essere traformata nella matrice identita' tramite operazioni elementari sulle righe o sulle colonne. Metodo di calcolo dell' inversa di una matrice. Il Teorema di rango-nullita'. Criterio di isomorfismo: un'applicazione lineare tra spazi vettoriali della stessa dimensione finita e' un isomorfismo se e solo se e' iniettivo se e solo se e' suriettivo. Matrici elementari per righe e per colonne. Formula per la loro inversa. Lemma: effettuare operazioni elementari sulle righe (risp. sulle colonne) equivale a moltiplicare a sinistra (risp. a destra) per matrici elementari per righe (risp. per colonne). Corollario: una matrice e' invertibile se e solo se e' prodotto di matrici elementari per righe o per colonne. Matrici equivalenti: definizione e caratterizzazione tramite operazioni elementari sulle righe e sulle colonne. Teorema di classificazione delle matrici equivalenti: due matrici sono equivalenti se e solo se hanno lo stesso rango e ogni matrice e' equivalente ad una matrice in forma canonica. La matrice associata ad un'applicazione lineare rispetto ad una base del dominio e una base del codominio. Le matrici di cambiamento base. Proprieta' delle matrici associate alle applicazioni lineari: formula di composizione e formula di cambiamento base. Corollario: il rango di un'applicazione lineare e' uguale al rango di una qualsiasi matrice che la rappresenta. Applicazioni lineari equivalenti: tre definizioni equivalenti. Teorema di classificazione delle applicazioni lineari equivalenti: due applicazioni lineari sono equivalenti se e solo se hanno lo stesso rango e ogni applicazione si puo' scrivere, rispetto ad oppurtune basi ordinate del dominio e del codominio, in forma canonica. Il quoziente di uno spazio vettoriale V rispetto ad un suo sottospazio: la proiezione canonica e la sua proprieta' universale. Il teorema di corrispondenza: esiste una biezione canonica tra i sottogruppi del quoziente e i sottogruppi dello spazio originario che contengono il sottospazio. Teorema: ogni complementare di un sottospazio e' canonicamente isomorfo al quoziente per tale sottospazio. La codimensione di un sottospazio e la sua relazione con la dimensione. I Teorema di isomorfismo e suoi Corollari: una dimostrazione alternativa del Teorema di rangi-nullita'; la fattorizzazione canonica di un'applicazione lineare come composizione di un quoziente, di un isomorfismo e di un'iniezione; i monomorfismi si scrivono canonicamente come composizione di un isomorfismo e di un'iniezione; gli epimorfismi si scrivono canonicamente come composizione di un quoziente e di un isomorfismo. II e III Teorema di isomorfismo. La trasposta di matrici e sue proprieta' algebriche rispetto alla composizione e all'inverso. I funzionali lineari e le loro proprieta'. Lo spazio vettoriale duale di uno spazio vettoriale. Esempi. L'insieme duale di una base. Teorema: data una base di V, l'insieme duale e' linearmente indipendente ed e' una base (chiamata base duale) se V ha dimensione finita. Corollario: uno spazio vettoriale ha dimensione finita se e solo se e' isomorfo al suo spazio vettoriale duale (con dimostrazione solo dell'implicazione se). Gli annullatori e loro proprieta' (con speciale enfasi al caso di dimensione finita): gli annullatori rovesciano le inclusioni e scambiano sottospazi e quozienti (e dunque scambiano dimensione e codimensione). Gli annullatori negli spazi vettoriali numerici: come calcolare l'annullatore di un sottospazio dato in forma parametrica o cartesiana. L'applicazioni lineare duale di un'applicazione lineare. Proprieta': la duale dell'inversa e' l'inversa della duale, il duale di una composizione e' la composizione dei duali. Il nucleo (risp. l'immagine) dell'applicazione duale e' l'annullatore dell'immagine (risp. del nucleo). Matrice di un'applicazione lineare duale. La similitudine di matrici e operatori lineari. Lemma: la similitudine di operatori lineari in termini di matrici associate. Il determinante di una matrice quadrata: formula di Leibniz. Esempi: matrici di ordine 2 e 3; matrici triangolari inferiori o superiori. Lemma: la trasposizione non cambia il determinante. Teorema: il determinante e' multilineare e alterno come funzione sulle righe (risp. colonne). Corollario: il comportamento del determinante rispetto all'eliminazione di Gauss-Jordan per righe (risp. colonne). Corollario: il determinante e' l'unica funzione dall'insieme della matrici quadrati di ordine n al campo che e' multilineare e alterno sulle righe (risp. colonne) e che vale 1 sulla matrice identita'. Corollario: una matrice e' invertibile se e solo se ha determinante diverso da zero. Il teorema di moltiplicativita' del determinante. Corollari: il determinante dell'inversa e' l'inversa del determinante; matrici simili hanno lo stesso determinante. Teorema (senza dimostrazione): calcolo del determinante usando sviluppo di Leibniz lungo una riga o una colonna. Corollario: coma calcolare l'inverso di una matrice in termini della matrice dei cofattori. Richiami sull'anello dei polinomi a coefficienti in un campo: la divisione di Euclide, il massimo comun divisore e il minimo comune multiplo, l'identita' di Bezout per il massimo comun divisore, la fattorizzazione unica in polinomi irriducibili, ogni ideale e' principale, polinomi irriducibili nel caso di coefficienti complessi o reali. Il polinomio caratteristico di una matrice quadrata A e di un operatore lineare: loro invarianza per similitudine, i coefficienti del polinomio caratteristico sono gli unici invarianti polinomiali per similitudine (senza dimostrazione), il termine noto e' il determinante (a meno del segno) e il termine subdirettore e' l'opposto della traccia. Polinomi applicati a operatori lineari e matrici quadrate. Il polinomio minimo di una matrice quadrata e di un operatore lineare: loro invarianza per similitudine, come calcolare il polinomio minimo di un operatore in termini di una sua matrice. Teorema (senza dimostrazione): il polinomio minimo divide il polinomio caratteristico (formula di Cayley-Hamilton) e hanno gli stessi fattori irriducibili. Esempio: polinomi caratteristico e minimo dei blocchi e multiblocchi di Jordan. Sottospazi invarianti per un operatore: applicazione quoziente e complementari invarianti. Interpretazione in termini di matrici triangolari o diagonali a blocchi. Proposizione: il comportamento dei polinomi caratteristici e minimi rispetto ai sottospazi invarianti. Esempio: la matrice compagna associata ad un polinomio p(x) ha polinomio caratteristico uguale a p(x). Decomposizione primaria di un operatore. Autovalori di un operatore lineare (o di una matrice quadrata) come radice del polinomio caratteristico. L'autospazio associato ad un autovalore di un operatore, l'autospazio generalizzato di indice k, l'autospazio generalizzato infinito. Alcuni invarianti associati ad un autovalore: la molteplicita' algebrica, la molteplicita' geometrica, la molteplicita' geometrica k-esima, la molteplicita' geometrica infinita, l'indice. Esempio: gli autospazi generalizzati di un multiblocco di Jordan. Teorema: la molteplicita' algebrica di un autovalore e' uguale alla sua molteplicita' geometrica infinita; l'indice di un autovalore e' uguale alla molteplicita' dell'autovalore come radice del polinomio minimo; il sottospazio generalizzato infinito dell'autovalore λ e' uguale al sottospazio primario associato al fattore irriducibile x−λ del polinomio minimo; l'indice e' minore o uguale alla molteplicita' algebrica. (Sotto-)spazi Φ-cicli: il sottospazio Φ-ciclico generato da un vettore e il polinomio minimo di un operatore Φ rispetto ad un vettore. Operatori ciclici. Proposizione: Φ e' ciclico se e solo se esiste una base ordinata rispetto a cui la matrice di Φ e' una matrice compagna di un polinomio p(x), che a posteriori coincide col polinomio minimo e col polinomio caratteristico di Φ. Corollario: due operatori ciclici sono simili se e solo se hanno lo stesso polinomio caratteristico (risp. minimo). Proposizione: dato un operatore ciclico Φ, esiste una biezione tra i divisori el polinomio minimo di Φ e i sottospazi Φ-invarianti. Gli operatori ciclici primari. Corollario: ogni operatore ciclico si decompone in maniera canonica come somma diretta di operatori ciclici primari. Teorema (senza dimostrazione) di decomposizione ciclica primaria: ogni operatore e' somma diretta di operatori ciclici primari che sono indecomponibili; i fattori ciclici primari sono unici a meno di similitudine. I divisori elementari di un operatore. Teorema (senza dimostrazione) di classificazione degli operatori a meno di similitudine : due operatori sono simili se e solo se hanno gli stessi divisori elementari. Corollario: il polinomio caratteristico e' il prodotto dei divisori elementari, il polinomio minimo e' il minimo comune multiplo dei divisori elementari. In particolare, il polinomio minimo divide il polinomio caratteristico e hanno gli stessi fattori irriducibili. Corollario: un operatore Φ e' ciclico se e solo se il suo polinomio minimo coincide con quello caratteristico se e solo se i suoi divisori elementari sono a due a due coprimi se e solo se i suoi sottospazi primari sono ciclici. Corollario: dato un operatore Φ, esiste una base ordinata tale rispetto alla quale la matrice di Φ e' una matrice diagonale a blocchi con blocchi dati dalle matrici compagne associate ai suoi divisori elementari. Teorema di triangolarizzabilita' : un operatore Φ e' triangolarizzabile (superioremente o inferiormente) se e solo se il suo polinomio caratteristico (o equivalentemente il suo polinomio minimo) ha solo fattori irriducibili lineari. Teorema sulla forma canonica di Jordan : dato un operatore Φ tale che il suo polinomio caratteristico ha solo fattori irriducibili lineari, allora esiste una base ordinata rispetto alla quale la matrice di Φ si scrive come matrice diagonale a multiblocchi di Jordan. Due operatori i cui polinomi caratteristici hanno solo fattori irriducibili lineari sono simili se e solo se hanno la stessa forma canonica di Jordan. Teorema di diagonalizzabilita' : un operatore Φ e' diagonalizzabile se e solo esiste una base fatta di autovettori per Φ se e solo se il polinomio caratteristico ha solo fattori lineari e per ogni autovalore la molteplicita' algebrica e quella geometrica coincidono se e solo se il suo polinomio minimo e' prodotto di fattori lineari distinti. S. Roman: Advanced Linear Algebra. Springer, 2008.
S. H. Weintraub: A guide to Advanced Linear Algebra. Mathematical Association of America, 2011. B. N. Cooperstein: Advanced Linear Algebra. 2nd Edition. Taylor and Francis Group, 2015. E. Sernesi: Geometria 1. Bollati Boringhieri, 2000. S. Axler: Linear Algebra Done Right. 2nd Edition. Undergraduate Text in Mathematics. Springer, 1997. |
9 | MAT/03 | 60 | 36 | - | - | Attività formative di base | ITA |
20410388 -
AM120-ANALISI MATEMATICA 2
(obiettivi)
Completare la preparazione di base di Analisi Matematica con particolare riguardo alla teoria della derivazione, dell'integrazione e gli sviluppi in serie.
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HAUS EMANUELE
(programma)
Differenziabilità, derivata e sue interpretazioni. Regole per il calcolo di derivate. Derivata e monotonia. I teoremi fondamentali sulla derivabilità (Fermat, Rolle, Cauchy, Lagrange). Teoremi di Bernoulli-Hopital. Punti critici. Derivata seconda. Funzioni convesse. Studio qualitativo di funzioni. Derivate successive e fomula di Taylor (teorema di Peano). Uso della formula di Taylor nel calcolo di limiti.
(testi)
L'integrale di Riemann: somme parziali, integrabilità. Classi di funzioni integrabili (funzioni monotone, funzioni continue e a tratti). Calcolo di primitive. Il teorema fondamentale del calcolo. Resto integrale nella formula di Taylor. Integrali impropri; confronto con serie. Serie di Taylor. Luigi Chierchia, Corso di Analisi, prima parte, Una introduzione rigorosa all'analisi matematica su R; Dispense AA 2018-2019, libreria Efesto
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9 | MAT/05 | 60 | 36 | - | - | Attività formative caratterizzanti | ITA |
20410337 -
FS110 - FISICA 1
(obiettivi)
Fornire la conoscenza teorica di base per descrivere in termini matematici la dinamica e la termodinamica.
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12 | FIS/01 | 60 | 36 | - | - | Attività formative di base | ITA |
Insegnamento | CFU | SSD | Ore Lezione | Ore Eserc. | Ore Lab | Ore Studio | Attività | Lingua | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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20410386 -
AL110-ALGEBRA 1
(obiettivi)
Fornire gli elementi del "linguaggio matematico" (teoria degli insiemi, logica elementare, insiemi numerici) e far acquisire la conoscenza degli strumenti di base dell'algebra moderna (nozioni di operazione, gruppo, anello, campo) attraverso lo sviluppo di esempi che ne forniscano le motivazioni.
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TARTARONE FRANCESCA
(programma)
INSIEMI ED APPLICAZIONI. RELAZIONI DI EQUIVALENZA. I NUMERI NATURALI. ASSIOMI DI PEANO. PRINCIPIO DI INDUZIONE. PRINCIPIO DEL BUON ORDINAMENTO. COSTRUZIONE DELL'INSIEME DEI NUMERI INTERI E DELL'INSIEME DEI NUMERI RAZIONALI. PRIME PROPRIETÀ DEI NUMERI COMPLESSI. DIVISIBILITÀ NEGLI INTERI, ALGORITMO EUCLIDEO, MCD. DEFINIZIONI ED ESEMPI DELLE PRINCIPALI STRUTTURE ALGEBRICHE: GRUPPI, ANELLI E CAMPI. GRUPPO DELLE UNITÀ DI UN ANELLO. GRUPPI DI PERMUTAZIONI. L'ANELLO DELLE CLASSI RESTO MODULO N. CONGRUENZE LINEARI. FUNZIONE PHI DI EULERO. ANELLI DI POLINOMI A COEFFICIENTI NUMERICI: DEFINIZIONE, PRIME PROPRIETÀ, DIVISIBILTÀ, CRITERI DI IRRIDUCIBILTÀ, LEMMA DI GAUSS E POLINOMI PRIMITIVI.
(testi)
- G.M. PIACENTINI CATTANEO: ALGEBRA, UN APPROCCIO ALGORITMICO, DECIBEL-ZANICHELLI, (1996)
- M. FONTANA E S. GABELLI: INSIEMI, NUMERI E POLINOMI, CISU, (1989) - R.B.J.T. ALLENBY: RINGS, FIELDS AND GROUPS, EDWARD ARNOLD, (1991) - M. ARTIN: ALGEBRA, PRENTICE-HALL, (1991) |
9 | MAT/02 | 60 | 36 | - | - | Attività formative di base | ITA | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
20410387 -
AM110-ANALISI MATEMATICA 1
(obiettivi)
Acquisire buona conoscenza sui concetti ed i metodi di base dell'Analisi Matematica con particolare riguardo alla struttura dei numeri reali, alla teoria dei limiti, allo studio delle funzioni ed alle prime applicazioni e modelli.
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CHIERCHIA LUIGI
(programma)
Assiomatica di R (incluso definizione induttiva di N, proprietà archimedea, densità dei razionali in R).
(testi)
Teoria dei limiti di funzioni di variabile reale a valori in R (incluso la teoria dei limiti per successioni e serie). Topologia e successioni. Funzioni continue e uniformemente continue: teoremi fondamentali; invarianti per trasformazione continue. NB: una parte importante del corso è dedicata alla definizione rigorosa ed alle proprietà fondamentali delle principali funzioni analitiche elementari (radici, esponenziali, logaritmi, funzioni iperboliche e trigonometriche e loro inverse). Luigi Chierchia AnalisiMatematica.1, Una introduzione rigorosa all'analisi matematica su R; Parte 1 - Dispense AA 2018-2019 ( Libreria Efesto )
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12 | MAT/05 | 60 | 36 | - | - | Attività formative di base | ITA | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
20410336 -
IN110-ALGORITMI E STRUTTURE DATI
(obiettivi)
Acquisire una buona conoscenza nella progettazione di algoritmi per la risoluzione di problemi e nella codifica di algoritmi con un linguaggio di programmazione (linguaggio C). Introdurre lo studente ad alcuni dei concetti fondamentali della matematica discreta (cenni sulla teoria dei grafi) ed in particolare ai primi elementi di ottimizzazione discreta (algoritmi di ottimizzazione su grafi, visita di grafi, cammini minimi, alberi ricoprenti).
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MAIELI ROBERTO
(programma)
1. Problemi ed algoritmi
(testi)
Introduzione alle caratteristiche del calcolatore ed al rapporto programmatore/esecutore; compiti ed abilità del programmatore; principali caratteristiche ed abilità dell’esecutore, operazioni di base (logiche, aritmetiche e di confronto). Modelli di macchina calcolatrice: cenni sul modello di Von Neumann e sulla macchina di Turing. Linguaggi di programmazione: linguaggi imperativi e dichiarativi. Istruzioni fondamentali di un linguaggio di programmazione procedurale generico. Algoritmi e programmi; diagrammi di flusso. Regole della programmazione strutturata, cenni sul teorema di Jacopini-Bohm; approccio top–down alla soluzione di un problema. 2. Il linguaggio C Organizzazione della memoria di un calcolatore, indirizzi, parole, puntatori. Codifica binaria. Tipi di dato, strutture dati (array, matrici, pile, code, code di priorità, liste, alberi, grafi). Linguaggio macchina, linguaggi di alto livello; compilatori ed interpreti, compilazione ed esecuzione di un programma C in ambiente UNIX/Linux. Il linguaggio C: scopi e principali caratteristiche. La struttura di un programma C, l’inclusione degli header, dichiarazione delle variabili; le librerie. Tipi di dato elementari in linguaggio C: interi,floating point, double, char. Puntatori; aritmetica sui puntatori. Array e matrici e loro rappresentazione in memoria. Strutture dati complesse: liste, alberi, grafi; l’istruzione “struct”. Operatore di assegnazione, operatori aritmetici in C in forma estesa e compatta. Strutture di controllo: “if...else...”, “while...”, “do...while”, “for...”. Funzioni: funzioni di libreria e funzioni definite dall’utente. Passaggio di parametri per valore e per indirizzo alle funzioni. Funzioni ricorsive. Funzioni di input/output: printf, scanf, fprintf, fscanf; funzioni per la gestione della memoria: malloc, free, sizeof; gestione di liste di record collegati tramite puntatori. 3. Algoritmi di ordinamento Algoritmi di ordinamento elementari: Insertion sort, Selection sort, Bubble sort; l’approccio “divide et impera”, l’algoritmo Quick sort. Strutture di tipo LIFO (Last In First Out), pile; strutture di tipo FIFO (First In First Out), code; code di priorità, gli heap. Algoritmi ottimi per l’ordinamento: Heap sort, Merge sort. Complessità di un algoritmo, la notazione “O grande”, analisi della complessità degli algoritmi di ordinamento. 4. Algoritmi elementari sui grafi Definizioni principali: grafo, grafo orientato; sottografo, sottografo indotto; cammino, cammino semplice, grafo connesso, grafo fortemente connesso, grafo completo, clique, ciclo, grafo aciclico; alberi, foreste, spanning treedi un grafo. Strutture dati per la rappresentazione di grafi mediante un calcolatore: liste di adiacenza e matrici di adiacenza. Algoritmi di visita di un grafo: visita in ampiezza (BFS), visita in profondità (DFS), ordinamento topologico di un grafo orientato aciclico. Problemi di cammino minimo su un grafo, l’algoritmo di Dijkstra. Alberi binari di ricerca: definizione e algoritmi per l’ordinamento degli elementi, la ricerca di un elemento, la ricerca del massimo e del minimo l’inserimento e la cancellazione di un vertice dell’albero. Analisi della complessità degli algoritmi presentati. Cenni sulle classi dei problemi P, NP, NP-completi. Il problema “P=NP”. [1] T.H. Cormen, C.E. Leiserson, R.L. Rivest, C. Stein, Introduzione agli algoritmi e strutture dati. McGraw–Hill, (Terza edizione, 2010).
[2] M. Liverani, Programmare in C. Esculapio, (Seconda edizione, 2013). [3] A. Bellini, A. Guidi, Linguaggio C - Guida alla programmazione. McGraw-Hill, (Quarta edizione, 2009). |
9 | INF/01 | 60 | 36 | - | - | Attività formative di base | ITA | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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Insegnamento | CFU | SSD | Ore Lezione | Ore Eserc. | Ore Lab | Ore Studio | Attività | Lingua |
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20410335 -
GE110-GEOMETRIA E ALGEBRA LINEARE 1
(obiettivi)
Acquisire una buona conoscenza dei concetti e metodi dell'algebra lineare di base, con particolare riguardo allo studio dei sistemi lineari, matrici e determinanti, spazi vettoriali e applicazioni lineari, geometria affine.
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VIVIANI FILIPPO
(programma)
Richiami di Campi: definizioni ed esempi, sottocampi ed estensione di campi, campi algebricamente chiusi.
(testi)
Spazi vettoriali su un campo: definizione e prime proprieta'. Esempi di spazi vettoriali: lo spazio vettoriale standard (o numerico), gli spazi numerici infiniti, lo spazio dei polinomi, lo spazio delle funzioni da un insieme ad un campo , lo spazio delle funzioni continue reali, estensione di campi come spazi vettoriali, lo spazio delle matrici a coefficienti in un campo. Sottospazi vettoriali: definizione e caratterizzazione tramite la chiusura per addizione vettoriale e moltiplicazione scalare, l'intersezione e la somma di sottospazi. Esempi di sottospazi: il sistema lineare omogeneo associato ad una matrice e il suo insieme di soluzioni come sottospazio vettoriale. Costruzioni di spazi vettoriali: prodotto diretto e somma diretta esterna di una collezione di spazi vettoriali, famiglie indipendenti di sottospazi, la somma diretta interna di una famiglia indipendente di sottospazi, la somma diretta interna e' isomorfa alla somma diretta esterna. Combinazioni lineari di vettori: ridotte, vuote, banali, nulle. Il sottospazio generato da un sottoinsieme di uno spazio vettoriale e sue proprieta'. Sottoinsiemi generanti. Sottoinsiemi linearmente indipendenti e loro caratterizzazione tramite le combinazioni lineari. Basi e loro caratterizzazione tramite le combinazioni lineari. Esempi di basi. Proposizione: dati due insiemi I⊆S con I linearmente indipendente e S generante, allora esiste una base B tale che I⊆B⊆S (dimostrazione solo nel caso S finito). Corollario: ogni spazio vettoriale ammette una base, ogni insieme linearmente indipendente e' contenuto in una base, ogni insieme generante contiene una base. Teorema dell'invarianza della cardinalita' delle basi (con dimostrazione solo nel caso di dimensione finita): due basi di uno spazio vettoriale hanno la stessa cardinalita'. La dimensione di uno spazio vettoriale. Teorema di classificazione degli spazi vettoriali: due spazi vettoriali sono isomorfi se e solo se hanno la stessa dimensione. Esercizi: come passare da un sottospazio di F^n dato in forma cartesiana ad una sua forma parametrica e come trovare una sua base, come passare da un sottospazio di F^nn dato in forma parametrica ad una sua forma cartesiana; come calcolare la somma e l'intersezione di due sottospazi di F^n; come mostrare che un sottoinsieme I⊆Fn e' linearmente indipendente e come estendere I ad una base; come mostrare che un sottoinsieme S⊆Fn e' generante e come estrarre una base. Formula di Grassmann per la dimensione della somma e dell'intersezione di due sottospazi. Applicazioni lineari (o omomorfismi lineari) tra spazi vettoriali: monomorfismi, epimorfisimi, isomorfismi, operatori lineari (o endormorfismi). Esempi: l'inclusione di un sottospazio, la proiezione di una somma diretta su un fattore, l'applicazione lineare associata ad una matrice. Proprieta' algebriche delle applicazioni lineari: Hom(V,W) e' uno spazio vettoriale, la composizione ∘:Hom(V,W)×Hom(W,U)→Hom(V,U) e' associativa e bilineare, data un'applicazione lineare biettiva l'inverso e' un'applicazione lineare biettiva. Proposizione: un'applicazione lineare e' univocamente determinata dai suoi valori su una base del dominio. Il nucleo e l' immagine di un'applicazione lineare. Ogni applicazione lineare da F^n a F^m e' della forma \Phi_A per una matrice A. Proposizione: il nucleo di Φ_A e' l'insieme delle soluzioni associate al sistema lineare omogeneo con matrice associata A, l'immagine di Φ_A e' lo span delle colonne di A. La moltiplicazione di matrici e le sue proprieta': associativita', bilinearita', elemento neutro. Il rango di una matrice: il rango per colonne coincide con il rango per righe. Proposizione (criterio di invertibilita'): una matrice quadrata e' invertibile se e solo se ha rango massimale se e solo se puo' essere traformata nella matrice identita' tramite operazioni elementari sulle righe o sulle colonne. Metodo di calcolo dell' inversa di una matrice. Il Teorema di rango-nullita'. Criterio di isomorfismo: un'applicazione lineare tra spazi vettoriali della stessa dimensione finita e' un isomorfismo se e solo se e' iniettivo se e solo se e' suriettivo. Matrici elementari per righe e per colonne. Formula per la loro inversa. Lemma: effettuare operazioni elementari sulle righe (risp. sulle colonne) equivale a moltiplicare a sinistra (risp. a destra) per matrici elementari per righe (risp. per colonne). Corollario: una matrice e' invertibile se e solo se e' prodotto di matrici elementari per righe o per colonne. Matrici equivalenti: definizione e caratterizzazione tramite operazioni elementari sulle righe e sulle colonne. Teorema di classificazione delle matrici equivalenti: due matrici sono equivalenti se e solo se hanno lo stesso rango e ogni matrice e' equivalente ad una matrice in forma canonica. La matrice associata ad un'applicazione lineare rispetto ad una base del dominio e una base del codominio. Le matrici di cambiamento base. Proprieta' delle matrici associate alle applicazioni lineari: formula di composizione e formula di cambiamento base. Corollario: il rango di un'applicazione lineare e' uguale al rango di una qualsiasi matrice che la rappresenta. Applicazioni lineari equivalenti: tre definizioni equivalenti. Teorema di classificazione delle applicazioni lineari equivalenti: due applicazioni lineari sono equivalenti se e solo se hanno lo stesso rango e ogni applicazione si puo' scrivere, rispetto ad oppurtune basi ordinate del dominio e del codominio, in forma canonica. Il quoziente di uno spazio vettoriale V rispetto ad un suo sottospazio: la proiezione canonica e la sua proprieta' universale. Il teorema di corrispondenza: esiste una biezione canonica tra i sottogruppi del quoziente e i sottogruppi dello spazio originario che contengono il sottospazio. Teorema: ogni complementare di un sottospazio e' canonicamente isomorfo al quoziente per tale sottospazio. La codimensione di un sottospazio e la sua relazione con la dimensione. I Teorema di isomorfismo e suoi Corollari: una dimostrazione alternativa del Teorema di rangi-nullita'; la fattorizzazione canonica di un'applicazione lineare come composizione di un quoziente, di un isomorfismo e di un'iniezione; i monomorfismi si scrivono canonicamente come composizione di un isomorfismo e di un'iniezione; gli epimorfismi si scrivono canonicamente come composizione di un quoziente e di un isomorfismo. II e III Teorema di isomorfismo. La trasposta di matrici e sue proprieta' algebriche rispetto alla composizione e all'inverso. I funzionali lineari e le loro proprieta'. Lo spazio vettoriale duale di uno spazio vettoriale. Esempi. L'insieme duale di una base. Teorema: data una base di V, l'insieme duale e' linearmente indipendente ed e' una base (chiamata base duale) se V ha dimensione finita. Corollario: uno spazio vettoriale ha dimensione finita se e solo se e' isomorfo al suo spazio vettoriale duale (con dimostrazione solo dell'implicazione se). Gli annullatori e loro proprieta' (con speciale enfasi al caso di dimensione finita): gli annullatori rovesciano le inclusioni e scambiano sottospazi e quozienti (e dunque scambiano dimensione e codimensione). Gli annullatori negli spazi vettoriali numerici: come calcolare l'annullatore di un sottospazio dato in forma parametrica o cartesiana. L'applicazioni lineare duale di un'applicazione lineare. Proprieta': la duale dell'inversa e' l'inversa della duale, il duale di una composizione e' la composizione dei duali. Il nucleo (risp. l'immagine) dell'applicazione duale e' l'annullatore dell'immagine (risp. del nucleo). Matrice di un'applicazione lineare duale. La similitudine di matrici e operatori lineari. Lemma: la similitudine di operatori lineari in termini di matrici associate. Il determinante di una matrice quadrata: formula di Leibniz. Esempi: matrici di ordine 2 e 3; matrici triangolari inferiori o superiori. Lemma: la trasposizione non cambia il determinante. Teorema: il determinante e' multilineare e alterno come funzione sulle righe (risp. colonne). Corollario: il comportamento del determinante rispetto all'eliminazione di Gauss-Jordan per righe (risp. colonne). Corollario: il determinante e' l'unica funzione dall'insieme della matrici quadrati di ordine n al campo che e' multilineare e alterno sulle righe (risp. colonne) e che vale 1 sulla matrice identita'. Corollario: una matrice e' invertibile se e solo se ha determinante diverso da zero. Il teorema di moltiplicativita' del determinante. Corollari: il determinante dell'inversa e' l'inversa del determinante; matrici simili hanno lo stesso determinante. Teorema (senza dimostrazione): calcolo del determinante usando sviluppo di Leibniz lungo una riga o una colonna. Corollario: coma calcolare l'inverso di una matrice in termini della matrice dei cofattori. Richiami sull'anello dei polinomi a coefficienti in un campo: la divisione di Euclide, il massimo comun divisore e il minimo comune multiplo, l'identita' di Bezout per il massimo comun divisore, la fattorizzazione unica in polinomi irriducibili, ogni ideale e' principale, polinomi irriducibili nel caso di coefficienti complessi o reali. Il polinomio caratteristico di una matrice quadrata A e di un operatore lineare: loro invarianza per similitudine, i coefficienti del polinomio caratteristico sono gli unici invarianti polinomiali per similitudine (senza dimostrazione), il termine noto e' il determinante (a meno del segno) e il termine subdirettore e' l'opposto della traccia. Polinomi applicati a operatori lineari e matrici quadrate. Il polinomio minimo di una matrice quadrata e di un operatore lineare: loro invarianza per similitudine, come calcolare il polinomio minimo di un operatore in termini di una sua matrice. Teorema (senza dimostrazione): il polinomio minimo divide il polinomio caratteristico (formula di Cayley-Hamilton) e hanno gli stessi fattori irriducibili. Esempio: polinomi caratteristico e minimo dei blocchi e multiblocchi di Jordan. Sottospazi invarianti per un operatore: applicazione quoziente e complementari invarianti. Interpretazione in termini di matrici triangolari o diagonali a blocchi. Proposizione: il comportamento dei polinomi caratteristici e minimi rispetto ai sottospazi invarianti. Esempio: la matrice compagna associata ad un polinomio p(x) ha polinomio caratteristico uguale a p(x). Decomposizione primaria di un operatore. Autovalori di un operatore lineare (o di una matrice quadrata) come radice del polinomio caratteristico. L'autospazio associato ad un autovalore di un operatore, l'autospazio generalizzato di indice k, l'autospazio generalizzato infinito. Alcuni invarianti associati ad un autovalore: la molteplicita' algebrica, la molteplicita' geometrica, la molteplicita' geometrica k-esima, la molteplicita' geometrica infinita, l'indice. Esempio: gli autospazi generalizzati di un multiblocco di Jordan. Teorema: la molteplicita' algebrica di un autovalore e' uguale alla sua molteplicita' geometrica infinita; l'indice di un autovalore e' uguale alla molteplicita' dell'autovalore come radice del polinomio minimo; il sottospazio generalizzato infinito dell'autovalore λ e' uguale al sottospazio primario associato al fattore irriducibile x−λ del polinomio minimo; l'indice e' minore o uguale alla molteplicita' algebrica. (Sotto-)spazi Φ-cicli: il sottospazio Φ-ciclico generato da un vettore e il polinomio minimo di un operatore Φ rispetto ad un vettore. Operatori ciclici. Proposizione: Φ e' ciclico se e solo se esiste una base ordinata rispetto a cui la matrice di Φ e' una matrice compagna di un polinomio p(x), che a posteriori coincide col polinomio minimo e col polinomio caratteristico di Φ. Corollario: due operatori ciclici sono simili se e solo se hanno lo stesso polinomio caratteristico (risp. minimo). Proposizione: dato un operatore ciclico Φ, esiste una biezione tra i divisori el polinomio minimo di Φ e i sottospazi Φ-invarianti. Gli operatori ciclici primari. Corollario: ogni operatore ciclico si decompone in maniera canonica come somma diretta di operatori ciclici primari. Teorema (senza dimostrazione) di decomposizione ciclica primaria: ogni operatore e' somma diretta di operatori ciclici primari che sono indecomponibili; i fattori ciclici primari sono unici a meno di similitudine. I divisori elementari di un operatore. Teorema (senza dimostrazione) di classificazione degli operatori a meno di similitudine : due operatori sono simili se e solo se hanno gli stessi divisori elementari. Corollario: il polinomio caratteristico e' il prodotto dei divisori elementari, il polinomio minimo e' il minimo comune multiplo dei divisori elementari. In particolare, il polinomio minimo divide il polinomio caratteristico e hanno gli stessi fattori irriducibili. Corollario: un operatore Φ e' ciclico se e solo se il suo polinomio minimo coincide con quello caratteristico se e solo se i suoi divisori elementari sono a due a due coprimi se e solo se i suoi sottospazi primari sono ciclici. Corollario: dato un operatore Φ, esiste una base ordinata tale rispetto alla quale la matrice di Φ e' una matrice diagonale a blocchi con blocchi dati dalle matrici compagne associate ai suoi divisori elementari. Teorema di triangolarizzabilita' : un operatore Φ e' triangolarizzabile (superioremente o inferiormente) se e solo se il suo polinomio caratteristico (o equivalentemente il suo polinomio minimo) ha solo fattori irriducibili lineari. Teorema sulla forma canonica di Jordan : dato un operatore Φ tale che il suo polinomio caratteristico ha solo fattori irriducibili lineari, allora esiste una base ordinata rispetto alla quale la matrice di Φ si scrive come matrice diagonale a multiblocchi di Jordan. Due operatori i cui polinomi caratteristici hanno solo fattori irriducibili lineari sono simili se e solo se hanno la stessa forma canonica di Jordan. Teorema di diagonalizzabilita' : un operatore Φ e' diagonalizzabile se e solo esiste una base fatta di autovettori per Φ se e solo se il polinomio caratteristico ha solo fattori lineari e per ogni autovalore la molteplicita' algebrica e quella geometrica coincidono se e solo se il suo polinomio minimo e' prodotto di fattori lineari distinti. S. Roman: Advanced Linear Algebra. Springer, 2008.
S. H. Weintraub: A guide to Advanced Linear Algebra. Mathematical Association of America, 2011. B. N. Cooperstein: Advanced Linear Algebra. 2nd Edition. Taylor and Francis Group, 2015. E. Sernesi: Geometria 1. Bollati Boringhieri, 2000. S. Axler: Linear Algebra Done Right. 2nd Edition. Undergraduate Text in Mathematics. Springer, 1997. |
9 | MAT/03 | 60 | 36 | - | - | Attività formative di base | ITA |
20410388 -
AM120-ANALISI MATEMATICA 2
(obiettivi)
Completare la preparazione di base di Analisi Matematica con particolare riguardo alla teoria della derivazione, dell'integrazione e gli sviluppi in serie.
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HAUS EMANUELE
(programma)
Differenziabilità, derivata e sue interpretazioni. Regole per il calcolo di derivate. Derivata e monotonia. I teoremi fondamentali sulla derivabilità (Fermat, Rolle, Cauchy, Lagrange). Teoremi di Bernoulli-Hopital. Punti critici. Derivata seconda. Funzioni convesse. Studio qualitativo di funzioni. Derivate successive e fomula di Taylor (teorema di Peano). Uso della formula di Taylor nel calcolo di limiti.
(testi)
L'integrale di Riemann: somme parziali, integrabilità. Classi di funzioni integrabili (funzioni monotone, funzioni continue e a tratti). Calcolo di primitive. Il teorema fondamentale del calcolo. Resto integrale nella formula di Taylor. Integrali impropri; confronto con serie. Serie di Taylor. Luigi Chierchia, Corso di Analisi, prima parte, Una introduzione rigorosa all'analisi matematica su R; Dispense AA 2018-2019, libreria Efesto
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9 | MAT/05 | 60 | 36 | - | - | Attività formative caratterizzanti | ITA |
20410337 -
FS110 - FISICA 1
(obiettivi)
Fornire la conoscenza teorica di base per descrivere in termini matematici la dinamica e la termodinamica.
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12 | FIS/01 | 60 | 36 | - | - | Attività formative di base | ITA |