Università Roma Tre

Parte 1: Assiomatica di R e suoi sottoinsiemi principali
Definizione assiomatica di R.
Insiemi induttivi; definizione di N e principio di induzione.
Definizione di Z e Q; Z è un anello, Q è un campo.
Radici ennesime; potenze razionali.

Parte 2: Teoria dei limiti
La retta estesa R*: intervalli, intorni e punti di accumulazione.
Limiti di funzioni in R*.
Teoremi di confronto.
Limiti laterali; limiti di funzioni monotone.
Algebra dei limiti su R e R*.
Limite di composizione di funzioni.
Limiti di funzioni inverse.
Limiti notevoli. Il numero di Nepero.
Funzioni esponenziali e trigonometriche.

Parte 3: Funzioni continue
Topologia di R.
Teorema di esistenza degli zeri.
Teoremi di Bolzano-Weierstrass.
Teorema di Weierstrass.
Funzioni uniformemente continue.

Parte 4: Funzioni derivabili
Regole di derivazione. Derivate delle funzioni elementari.
Minimi e massimi locali e teoremi elementari sulle derivate (Fermat, Rolle, Cauchy,
Lagrange).
Teorema di Bernoulli-Hopital.
Convessità.
Formule di Taylor.

Parte 5: Integrale di Riemann in R
L’integrale di Riemann e sue proprietà fondamentali.
Criteri di integrabilità. Integrabilità di funzioni continue e monotone.
Il Teorema fondamentale del calcolo e sue applicazioni
(integrazione per parti, cambi di variabile nell’integrazione).
Integrali generalizzati (“impropri”) e relativi criteri di integrabilità.

Luigi Chierchia: Corso di analisi. Prima parte. Una introduzione rigorosa all'analisi matematica su R
McGraw-Hill Education Collana: Collana di istruzione scientifica
Data di Pubblicazione: giugno 2019
EAN: 9788838695438 ISBN: 8838695431
Pagine: XI-374 Formato: brossura
https://www.mheducation.it/9788838695438-italy-corso-di-analisi-prima-parte

Testi di esercizi:
Giusti, E.: Esercizi e complementi di Analisi Matematica, Volume Primo, Bollati Boringhieri, 2000
Demidovich, B.P., Esercizi e problemi di Analisi Matematica, Editori Riuniti, 2010

Insiemi aperti, chiusi, compatti. Teorema di Weierstrass. Funzioni uniformemente continue.
Differenziabilità, derivata e sue interpretazioni. Regole per il calcolo di derivate. Derivata e monotonia. I teoremi fondamentali sulla derivabilità (Fermat, Rolle, Cauchy, Lagrange). Teoremi di Bernoulli-Hopital. Punti critici. Derivata seconda. Funzioni convesse. Studio qualitativo di funzioni. Derivate successive e fomula di Taylor (teorema di Peano). Uso della formula di Taylor nel calcolo di limiti.
L'integrale di Riemann: somme parziali, integrabilità. Classi di funzioni integrabili (funzioni monotone, funzioni continue e a tratti). Calcolo di primitive. Il teorema fondamentale del calcolo. Resto integrale nella formula di Taylor. Integrali impropri; confronto con serie.
Numeri complessi, serie esponenziale nel piano complesso e teorema fondamentale dell'algebra.

Luigi Chierchia, Corso di Analisi, prima parte, Una introduzione rigorosa all'analisi matematica su R.